Uma determinada companhia produz uma bebida de morango projetada para ser uma refeição completa. As informações sobre cada um dos ingredientes que compõem essa bebida são dadas na tabela abaixo:
Ingredientes Total de Calorias (por colher) Calorias provenientes da gordura (por colher) Vitaminas (mg/colher) Espessante (mg/colher) Custo ($/colher)
Aromatizante 50 1 20 3 10
Creme 100 75 0 8 8
Suplemento 0 0 50 1 25
Adoçante 120 0 0 2 15
Goma 80 30 2 25 6
A bebida deve apresentar entre 350 e 400 calorias. Não mais do que |l|l|l|l|l|l| hline Ingredientes & Total de Calorias (por colher) & Calorias provenientes da gordura (por colher) & Vitaminas (mg/colher) & Espessante (mg/colher) & Custo ($/colher) hline Aromatizante & 50 & 1 & 20 & 3 & 10 hline Creme & 100 & 75 & 0 & 8 & 8 hline Sup<=mento & 0 & 0 & 50 & 1 & 25 hline Adoçante & 120 & 0 & 0 & 2 & 15 hline Goma & 80 & 30 & 2 & 25 & 6 hline do total de calorias deve vir de gordura. Deve haver, pelo menos, 60 mg de teor de vitamina. Além disso, deve haver, pelo menos, 3 colheres de aroma de morango para cada colher de adoçante. Finalmente, para manter a espessura adequada, deve apresentar exatamente 15 mg de espessantes na bebida.
Formule o problema de otimização linear e determine a quantidade de cada ingrediente para produção da bebida que minimize o custo e atenda os requisitos acima.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o problema: temos cinco ingredientes – aromatizante (x₁), creme (x₂), suplemento (x₃), adoçante (x₄) e goma (x₅) – e queremos determinar quantas colheres de cada um usar para minimizar o custo total, respeitando limites de calorias (350–400), no máximo 15 % das calorias provenientes de gordura, pelo menos 60 mg de vitaminas, razão de 3 colheres de aromatizante para cada de adoçante e exatamente 15 mg de espessante.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão x₁,…,x₅ ≥ 0, e montamos a programação linear: objetivo de minimizar
C = 10x1 + 8x2 + 25x3 + 15x4 + 6x5,
as restrições:
350 <= 50x1 + 100x2 + 0x3 + 120x4 + 80x5 <= 400,
1x1 + 75x2 + 0 + 0 + 30x5 <= 0.15,(50x1 + 100x2 + 120x4 + 80x5),
20x1 + 0 + 50x3 + 0 + 2x5 >= 60,
x1 - 3x4 >= 0,
3x1 + 8x2 + x3 + 2x4 + 25x5 = 15

Passo 3

Analisando custos e porcentagens de gordura, percebe-se que usar creme (x₂) ou goma (x₅) obriga a muita diluição por aromatizante/adoçante para respeitar 15 % de gordura, elevando o custo. Já as variáveis x₁, x₃ e x₄ são “magras” (gordura zero ou quase) e bastam para cumprir todas as demais restrições. Concluímos que, na solução ótima, x₂ = x₅ = 0.

Passo 4

Com x₂ = x₅ = 0, a equação de espessante fica
3x1 + x3 + 2x4 = 15,
logo
x3 = 15 - 3x1 - 2x4 (>= 0)
Substituímos x₃ nas outras restrições e obtemos um problema em (x₁,x₄) com:
– calorias: 350 <= 50x₁ + 120x₄ <= 400,
– vitaminas: 20x₁ + 50(15-3x₁-2x₄) >= 60,
– razão: x₁ >= 3x₄,
– x₃ ≥ 0: 3x₁ + 2x₄ <= 15.

Passo 5

Determinamos então os vértices factíveis resolvendo sistemas lineares nos limites dessas retas. O ponto que satisfaz simultaneamente calorias mínimas 50x₁+120x₄=350 e a igualdade de espessante 3x₁+2x₄=15 é
x1 = 5513 approx 4.2308, x4 = 1513 approx 1.1538, x3=0
Esse ponto obedece todas as restrições e gera menor custo.

Passo 6

Por fim, avaliamos o custo em cada vértice e verificamos que a solução ótima é mesmo
x1 = 5513, x2=0, x3=0, x4=1513, x5=0,
com custo mínimo C = 77513 approx 59,62 $.

Resposta

x₁ = 55/13 colheres de aromatizante, x₂ = 0 colheres de creme, x₃ = 0 colheres de suplemento, x₄ = 15/13 colheres de adoçante, x₅ = 0 colheres de goma. Custo mínimo = 775/13 ≃ 59,62 $.

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