Uma determinada companhia produz uma bebida de morango projetada para ser uma refeição completa. As informações sobre cada um dos ingredientes que compõem essa bebida são dadas na tabela abaixo:
Ingredientes
Total de Calorias (por colher)
Calorias provenientes da gordura (por colher)
Vitaminas (mg/colher)
Espessante (mg/colher)
Custo ($/colher)
Aromatizante
50
1
20
3
10
Creme
100
75
0
8
8
Suplemento
0
0
50
1
25
Adoçante
120
0
0
2
15
Goma
80
30
2
25
6
A bebida deve apresentar entre 350 e 400 calorias. Não mais do que
do total de calorias deve vir de gordura. Deve haver, pelo menos, 60 mg de teor de vitamina. Além disso, deve haver, pelo menos, 3 colheres de aroma de morango para cada colher de adoçante. Finalmente, para manter a espessura adequada, deve apresentar exatamente 15 mg de espessantes na bebida.
Formule o problema de otimização linear e determine a quantidade de cada ingrediente para produção da bebida que minimize o custo e atenda os requisitos acima.
Ingredientes | Total de Calorias (por colher) | Calorias provenientes da gordura (por colher) | Vitaminas (mg/colher) | Espessante (mg/colher) | Custo ($/colher) |
Aromatizante | 50 | 1 | 20 | 3 | 10 |
Creme | 100 | 75 | 0 | 8 | 8 |
Suplemento | 0 | 0 | 50 | 1 | 25 |
Adoçante | 120 | 0 | 0 | 2 | 15 |
Goma | 80 | 30 | 2 | 25 | 6 |
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o problema: temos cinco ingredientes – aromatizante (x₁), creme (x₂), suplemento (x₃), adoçante (x₄) e goma (x₅) – e queremos determinar quantas colheres de cada um usar para minimizar o custo total, respeitando limites de calorias (350–400), no máximo 15 % das calorias provenientes de gordura, pelo menos 60 mg de vitaminas, razão de 3 colheres de aromatizante para cada de adoçante e exatamente 15 mg de espessante.
Passo 2
Definimos as variáveis de decisão x₁,…,x₅ ≥ 0, e montamos a programação linear: objetivo de minimizar
as restrições:
Passo 3
Analisando custos e porcentagens de gordura, percebe-se que usar creme (x₂) ou goma (x₅) obriga a muita diluição por aromatizante/adoçante para respeitar 15 % de gordura, elevando o custo. Já as variáveis x₁, x₃ e x₄ são “magras” (gordura zero ou quase) e bastam para cumprir todas as demais restrições. Concluímos que, na solução ótima, x₂ = x₅ = 0.
Passo 4
Com x₂ = x₅ = 0, a equação de espessante fica
logo
Substituímos x₃ nas outras restrições e obtemos um problema em (x₁,x₄) com:
– calorias: ,
– vitaminas: ,
– razão: ,
– x₃ ≥ 0: .
– calorias:
– vitaminas:
– razão:
– x₃ ≥ 0:
Passo 5
Determinamos então os vértices factíveis resolvendo sistemas lineares nos limites dessas retas. O ponto que satisfaz simultaneamente calorias mínimas
e a igualdade de espessante
é
Esse ponto obedece todas as restrições e gera menor custo.
Passo 6
Por fim, avaliamos o custo em cada vértice e verificamos que a solução ótima é mesmo
com custo mínimo
Resposta
x₁ = 55/13 colheres de aromatizante, x₂ = 0 colheres de creme, x₃ = 0 colheres de suplemento, x₄ = 15/13 colheres de adoçante, x₅ = 0 colheres de goma. Custo mínimo = 775/13 ≃ 59,62 $.