Resolva graficamente e pelo Método Simplex os seguintes problemas de otimização:
Maximize Z=5 x1+3 x2
sujeito a:
& x1+2 x2 <= 4 & x1+x2=3
and
x1 >= 0, x2 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para maximizar Z = 5x1 + 3x2 sujeito a
x1 + 2x2 <= 4,
x1 + x2 = 3,
e x1, x2 >= 0. Vamos usar dois métodos: gráfico e Simplex (duas fases, pois temos igualdade).

Passo 2

Para a solução gráfica, note que a restrição de igualdade define a reta
x2 = 3 - x1
e a desigualdade define a região abaixo da reta
x2 = 4 - x12
Como x1, x2 >= 0, a região viável é o segmento comum a essas duas retas no primeiro quadrante. Os pontos extremos são
encontro de x1 + x2 = 3 com x1 + 2x2 = 4, que dá (2,1), e o ponto em que x2=0 na igualdade, isto é (3,0).

Passo 3

Avaliaremos Z nesses extremos:
Z(2,1)=5cdot2+3cdot1=13,
Z(3,0)=5cdot3+3cdot0=15
Logo, o ótimo gráfico é (x1,x2)=(3,0) com Zmax=15.

Passo 4

Agora pelo Método Simplex em duas fases. Primeiro colocamos em forma padrão:
x1 + 2x2 + s1 = 4,
x1 + x2 + a1 = 3,
e definimos na Fase I a função-objetivo de minimização
W = a1
A tabela inicial (variáveis básicas s1,a1) é
c|cccc|c & x1 & x2 & s1 & a1 & RHS hline s1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 4 a1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 3 W & 0 & 0 & 0 & -1 & 0
Como há -1 em a1 na linha de W, escolhemos a1 como variável de entrada e pivotamos na linha de a1; em seguida a base vira s1,x1 ou s1,x2 dependendo da ordenação, mas o importante é eliminar a1 e obter Wmin=0.

Passo 5

Na Fase II, retiramos a1 e usamos o objetivo original de maximização:
Z = 5x1 + 3x2
O sistema básico viável que sobrou tem variáveis básicas s1 e uma das xi. Ao refazer os pivotes do Simplex (agora maximizando Z) obtemos ao final a base x1, s1 com
x1=3,
x2=0,
Z=15

Passo 6

Assim, em ambas as metodologias o ponto ótimo é (3,0) com valor Zmax=15.

Resposta

x_1 = 3, x_2 = 0, Z_{max} = 15

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