Exercício 2:

Para o seguinte problema de otimização, sabe-se que as variáveis básicas na solução ótima são x2 e x3.
& Maximizar Z=3 x1+9 x2+2 x3 & sujeito a: & -x1+x2+2 x3 <= 18 & 3 x1+2 x2-2 x3 <= 10 & x >= 0
Então, pede-se:
a) Considerando a introdução de variáveis de folga e a base ótima indicada, identifique as equações que definem a solução ótima e então resolva esse sistema de equações.
b) A partir do mesmo principio adotado no item anterior, identifique se a solução básica associada à base é factível.

Passo 1

O exercício é um problema de maximização sujeito a restrições lineares. Vamos usar o conceito de variáveis de folga e de base em programação linear para montar um sistema canônico e resolver as variáveis básicas escolhidas.

Passo 2

Para o item (a), adicionamos as folgas x4 e x5 e escrevemos as equações canônicas:
- x1 + x2 + 2x3 + x4 = 18
3x1 + 2x2 - 2x3 + x5 = 10
Como a base ótima é x2,x3, definimos x1 = x4 = x5 = 0 e ficamos com o sistema:
x2 + 2x3 = 18
2x2 - 2x3 = 10

Passo 3

Da segunda equação vem x2 = 5 + x3. Substituindo na primeira:
(5 + x3) + 2x3 = 18
3x3 = 13 implies x3 = 133, x2 = 5 + 133 = 283

Passo 4

Calculando as folgas:
x4 = 18 - x2 - 2x3 = 0,
x5 = 10 - 2x2 + 2x3 = 0
Como todas as variáveis estão >= 0, essa é a solução ótima e viável.

Passo 5

Para o item (b), adotamos a base x1,x2, colocando x3 = x4 = x5 = 0 nas equações canônicas:
- x1 + x2 = 18
3x1 + 2x2 = 10

Passo 6

Da primeira equação x2 = 18 + x1. Substituindo na segunda:
3x1 + 2(18 + x1) = 10 implies 5x1 = -26 implies x1 = -265
Como x1<0, a solução básica não é factível.

Resposta

a) x1 = 0, ; x2 = tfrac283, ; x3 = tfrac133, ; x4 = 0, ; x5 = 0.
b) A base x1,x2 não é factível, pois resulta em x1 = -tfrac265 < 0.

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