Uma determinada fábrica na Zona Franca de Manaus tem uma linha de montagem para fabricar um novo telefone celular. A taxa de produção desses celulares após t semanas é d xd t=4000(1-100 1(t+10)^2) aparelhos celulares/semana
Determine o número de celulares produzidos do começo da terceira semana até o final da quarta semana,
Obs.1: note que a taxa de produção tende a 4000 por semana à medida que passa o tempo, mas a produção inicial é baixa pois os trabalhadores não estão familiarizados com as novas técnicas.
Obs. 2: o período do começo da terceira semana até o final da quarta semana corresponde a 3 <= t <= 5 ? Ou a 3 <= t <= 4 ? Ou a 2 <= t <= 4 ? Ou a 2 <= t <= 5 ? Pense cuidadosamente sobre isto (veja a Dica 3)
Dica 3: de fato a Semana 1 corresponde a 0 <= t <= 1, a Semana 2 a 1 <= t <= 2, etc
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar 5 / 300
  • ou 13.07976 para representar 2 ln (10)+3 pi(9-e^2)-3 raiz5=13.0797548283 ldots…(que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) 2* ln (10)+3^* p i^*(9-exp (2)) ) 3^* sqrt(5) diretamente no Google por exemplo)
    Entre aqui o valor aproximado do número de celulares produzidos no período indicado square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a produção de celulares numa fábrica. A gente tem a taxa de produção, que é a quantidade de celulares produzidos por semana, dada por:
dxdt = 4000(1 - 100(t + 10)^2)
Aqui, $ t $ é o tempo em semanas. A gente precisa descobrir quantos celulares foram produzidos do começo da terceira semana até o final da quarta semana. Isso vai envolver cálculo de integrais, já que precisamos somar a taxa de produção ao longo desse período.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o período que estamos analisando. Segundo a dica, cada semana corresponde a um intervalo de tempo:
  • Semana 1: $ 0 \leq t \leq 1 $
  • Semana 2: $ 1 \leq t \leq 2 $
  • Semana 3: $ 2 \leq t \leq 3 $
  • Semana 4: $ 3 \leq t \leq 4 $
  • Semana 5: $ 4 \leq t \leq 5 $
Então, o começo da terceira semana é $ t = 2 $ e o final da quarta semana é $ t = 4 $. Nosso intervalo de interesse é de $ t = 2 $ até $ t = 4 $.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o número total de celulares produzidos nesse intervalo. Para isso, vamos integrar a taxa de produção $ \frac{dx}{dt} $ de $ t = 2 $ a $ t = 4 $:
dxdt

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
x = 4000 integral2^4 (1 - 100(t + 10)^2) dt
Isso pode ser separado em duas integrais:
x = 4000 ( integral2^4 1 , dt - integral2^4 100(t + 10)^2 dt )

Passo 5

Resolvendo a primeira integral:
integral2^4 1 , dt = t |2^4 = 4 - 2 = 2

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda integral:
integral2^4 100(t + 10)^2 dt
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja $ u = t + 10 $, então $ du = dt $. Quando $ t = 2 $, $ u = 12 $; e quando $ t = 4 $, $ u = 14 $.
Então, a integral fica:
u = t + 10
A integral de $ u^{-2} $ é $ -u^{-1} $, então:
du = dt
Calculando:
t = 2
Então:
u = 12

Passo 7

Voltando à expressão original:
x = 4000 ( 2 - 1.190476 ) = 4000 times 0.809524 = 3238.095

Resposta

Entre aqui o valor aproximado do número de celulares produzidos no período indicado 3238.095

Exercícios relacionados