Uma determinada fábrica na Zona Franca de Manaus tem uma linha de montagem para fabricar um novo telefone celular. A taxa de produção desses celulares após
semanas é
aparelhos celulares/semana
Determine o número de celulares produzidos do começo da terceira semana até o final da quarta semana,
Obs.1: note que a taxa de produção tende a 4000 por semana à medida que passa o tempo, mas a produção inicial é baixa pois os trabalhadores não estão familiarizados com as novas técnicas.
Obs. 2: o período do começo da terceira semana até o final da quarta semana corresponde a
? Ou a
? Ou a
? Ou a
? Pense cuidadosamente sobre isto (veja a Dica 3)
Dica 3: de fato a Semana 1 corresponde a
, a Semana 2 a
, etc
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
- 0.0166666 para representar
- ou 13.07976 para representar
…(que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) 2*
)
sqrt(5) diretamente no Google por exemplo)
Entre aqui o valor aproximado do número de celulares produzidos no período indicado
Determine o número de celulares produzidos do começo da terceira semana até o final da quarta semana,
Obs.1: note que a taxa de produção tende a 4000 por semana à medida que passa o tempo, mas a produção inicial é baixa pois os trabalhadores não estão familiarizados com as novas técnicas.
Obs. 2: o período do começo da terceira semana até o final da quarta semana corresponde a
Dica 3: de fato a Semana 1 corresponde a
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
Entre aqui o valor aproximado do número de celulares produzidos no período indicado
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a produção de celulares numa fábrica. A gente tem a taxa de produção, que é a quantidade de celulares produzidos por semana, dada por:
Aqui, $ t $ é o tempo em semanas. A gente precisa descobrir quantos celulares foram produzidos do começo da terceira semana até o final da quarta semana. Isso vai envolver cálculo de integrais, já que precisamos somar a taxa de produção ao longo desse período.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o período que estamos analisando. Segundo a dica, cada semana corresponde a um intervalo de tempo:
- Semana 1: $ 0 \leq t \leq 1 $
- Semana 2: $ 1 \leq t \leq 2 $
- Semana 3: $ 2 \leq t \leq 3 $
- Semana 4: $ 3 \leq t \leq 4 $
- Semana 5: $ 4 \leq t \leq 5 $
Então, o começo da terceira semana é $ t = 2 $ e o final da quarta semana é $ t = 4 $. Nosso intervalo de interesse é de $ t = 2 $ até $ t = 4 $.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o número total de celulares produzidos nesse intervalo. Para isso, vamos integrar a taxa de produção $ \frac{dx}{dt} $ de $ t = 2 $ a $ t = 4 $:
Passo 4
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Isso pode ser separado em duas integrais:
Passo 5
Resolvendo a primeira integral:
Passo 6
Agora, resolvemos a segunda integral:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja $ u = t + 10 $, então $ du = dt $. Quando $ t = 2 $, $ u = 12 $; e quando $ t = 4 $, $ u = 14 $.
Então, a integral fica:
A integral de $ u^{-2} $ é $ -u^{-1} $, então:
Calculando:
Então:
Passo 7
Voltando à expressão original:
Resposta
Entre aqui o valor aproximado do número de celulares produzidos no período indicado 3238.095