Prove que no corpo dos reais vale:
;
Passo 1
O enunciado pede para provar no corpo dos reais a identidade da diferença de quadrados:
Queremos mostrar que vale
Queremos mostrar que vale
Para isso vamos usar os axiomas de corpo: a lei distributiva, a comutatividade da multiplicação e a existência de inverso aditivo.
Passo 2
Aplicamos a lei distributiva em
:
Passo 3
Agora expandimos cada produto usando novamente a distributiva:
Passo 4
Como a multiplicação em
é comutativa,
. Logo
Passo 5
Substituindo as expansões no resultado de antes, temos
$$(a+b)(a-b)=\bigl(a^2 - a b\bigr) + \bigl(a b - b^2\bigr)
= a^2 - a b + a b - b^2.$$
Passo 6
Agora usamos que
(inverso aditivo) e que somar
não altera o resultado. Assim
$$a^2 - a b + a b - b^2 = a^2 + 0 - b^2 = a^2 - b^2,
$$
que conclui a prova.
que conclui a prova.
Resposta
No corpo dos reais vale
.