Prove que no corpo dos reais vale:
(a+b)(a-b)=a^2-b^2;

Passo 1

O enunciado pede para provar no corpo dos reais a identidade da diferença de quadrados:
Queremos mostrar que vale
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
Para isso vamos usar os axiomas de corpo: a lei distributiva, a comutatividade da multiplicação e a existência de inverso aditivo.

Passo 2

Aplicamos a lei distributiva em (a+b)(a-b):
(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)

Passo 3

Agora expandimos cada produto usando novamente a distributiva:
a(a-b)=acdot a - acdot b = a^2 - a b,
b(a-b)=bcdot a - bcdot b = b a - b^2

Passo 4

Como a multiplicação em R é comutativa, b a=a b. Logo
b(a-b)=a b - b^2

Passo 5

Substituindo as expansões no resultado de antes, temos
$$(a+b)(a-b)=\bigl(a^2 - a b\bigr) + \bigl(a b - b^2\bigr)
= a^2 - a b + a b - b^2.$$

Passo 6

Agora usamos que -a b + a b=0 (inverso aditivo) e que somar 0 não altera o resultado. Assim
$$a^2 - a b + a b - b^2 = a^2 + 0 - b^2 = a^2 - b^2,
$$
que conclui a prova.

Resposta

No corpo dos reais vale (a+b)(a-b)=a^2-b^2).

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