1. Quanto ao raio e ao intervalo de convergência da série de potencias
sumn=0^infty (-1)^n(x-1)^n(n+1)
tem-se, respectivamente,
a) r=0 ; Ic=10,2].
b) r=1 ; Ic=[0,2].
c) r=0 ; Ic=[0,2].
d) r=1 ; Ic=] 0,2].
e) r=0 ; Ic=[0,2[

Passo 1

Temos a série de potências centrada em x=1:
sumn=0^infty (-1)^n(x-1)^nn+1
O que se pede é o raio de convergência r e o intervalo de convergência Ic.

Passo 2

Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz em an=tfrac(-1)^nn+1. Calculamos
limntoinftyl|anr|^1/n =limntoinfty1(n+1)^1/n =1,
logo tfrac1r=1 e r=1.

Passo 3

Verificamos a convergência em x=2. Aqui x-1=1 e a série fica
sumn=0^infty(-1)^ncdot1^nn+1 =sumn=0^infty(-1)^nn+1,
que é alternada com termos de módulo decrescente a zero, portanto converge (teste de Leibniz).

Passo 4

Verificamos a convergência em x=0. Aqui x-1=-1 e a série fica
sumn=0^infty(-1)^n(-1)^nn+1 =sumn=0^infty1n+1,
que é a série harmônica (por índice deslocado) e diverge.

Passo 5

Logo o raio é r=1 e o intervalo de convergência, em torno de x=1, é
Ic=l]1-1,;1+1r] =l]0,2r]

Resposta

d) r=1; Ic=,]0,2].

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