Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) é uma v.a. X com f.d.p.
f(x)= x10+110, & 0 <= x <= 2 920-3 x40, & 2
a) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre distribuição de renda em uma localidade específica. A variável aleatória representa a renda, em milhares de reais, com uma função de densidade de probabilidade dada. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter uma renda superior a R$ 3.000,00.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a função de densidade de probabilidade (f.d.p.) nos ajuda a determinar a probabilidade de estar em determinado intervalo. No caso, queremos a probabilidade de (já que 3 mil reais correspondem a ).

Passo 3

Para encontrar P(a < X <= b) = integrala^b f(x) , dx , vamos calcular a integral da função de densidade de de 3 até o valor máximo que pode assumir, que aqui é 6 (segundo a definição da f.d.p.). A fórmula geral para a probabilidade é:

Passo 4

Observando a função , vemos que para , . Como 3 está dentro desse intervalo, usaremos essa expressão para a nossa integração.

Passo 5

Vamos calcular a integral de P(X > 3) = integral3^6 ( 920 - 3x40 ) dx de 3 a 6:

Passo 6

Resolver a integral:
integral ( 920 - 3x40 ) dx = 920x - 340 cdot x^22 + C = 920x - 3x^280 + C

Passo 7

Aplicando os limites de 3 a 6:
P(X > 3) = [ 920(6) - 3(6)^280 ] - [ 920(3) - 3(3)^280 ]
Calculando cada parte:
Para 920 times 6 = 5420 = 2.7 3 times 3680 = 10880 = 1.35 :
2.7 - 1.35 = 1.35
Então:
920 times 3 = 2720 = 1.35 3 times 980 = 2780 = 0.3375
Para 1.35 - 0.3375 = 1.0125 :
Então:

Passo 8

Subtraindo os dois resultados:
1.35 - 1.0125 = 0.3375

Resposta

A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter uma renda superior a R$ 3.000,00 é de ou .

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