Seja V a velocidade do vento (em milhas por hora) e suponha que V seja uma v.a. com f.d.p. dada por
f(v)= 1 / 10, & 0 <= v <= 10 0, & cc
A pressão, digamos W (em libras/pé quadrado), na superfície da asa de um avião, é dada pela relação
W=0,003 V^2
b) Obtenha o valor esperado da pressão W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a velocidade do vento, representada por , que segue uma distribuição de probabilidade com função densidade dada. A pressão na asa de um avião depende dessa velocidade através da fórmula . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado da pressão , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado de uma variável aleatória é uma média ponderada de todos os possíveis valores que essa variável pode assumir, multiplicados pela sua probabilidade. No nosso caso, queremos encontrar E[W] = E[0,003 V^2] = 0,003, E[V^2] . Sabemos que , então podemos usar a propriedade da esperança matemática que diz que , onde é uma constante e é uma variável aleatória. Assim:
Então, nosso próximo passo é encontrar .

Passo 3

Para calcular f(v) = 110, & 0 <= v <= 10 0, & caso contrário , precisamos integrar E[V^2] = integral-infty^+infty v^2 f(v) , dv = integral0^10 v^2 cdot 110 , dv multiplicado pela função densidade de em todo o seu domínio. A função densidade de é:
á
Então, a expectativa é dada por:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. Simplificando a expressão:
E[V^2] = 110 integral0^10 v^2 , dv
A integral de E[V^2] = 110 [ v^33 ]0^10 = 110 ( 10^33 - 0^33 ) = 110 cdot 10003 = 1003 em relação a é . Então:

Passo 5

Agora que temos E[W] = 0,003 times 1003 , vamos voltar à expressão original para E[W] = 0,003 times 1003 = 0,33 = 0,1 :
Fazendo a multiplicação:

Resposta

O valor esperado da pressão é libras/pé quadrado.

Exercícios relacionados