Seja
a velocidade do vento (em milhas por hora) e suponha que
seja uma v.a. com f.d.p. dada por
A pressão, digamos
(em libras/pé quadrado), na superfície da asa de um avião, é dada pela relação
b) Obtenha o valor esperado da pressão
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a velocidade do vento, representada por
, que segue uma distribuição de probabilidade com função densidade dada. A pressão
na asa de um avião depende dessa velocidade através da fórmula
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado da pressão
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado de uma variável aleatória é uma média ponderada de todos os possíveis valores que essa variável pode assumir, multiplicados pela sua probabilidade. No nosso caso, queremos encontrar
. Sabemos que
, então podemos usar a propriedade da esperança matemática que diz que
, onde
é uma constante e
é uma variável aleatória. Assim:
Então, nosso próximo passo é encontrar
.
Passo 3
Para calcular
, precisamos integrar
multiplicado pela função densidade de
em todo o seu domínio. A função densidade de
é:
Então, a expectativa
é dada por:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral. Simplificando a expressão:
A integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora que temos
, vamos voltar à expressão original para
:
Fazendo a multiplicação:
Resposta
O valor esperado da pressão
é
libras/pé quadrado.