Quando uma determinada região R é rotacionada em torno do eixo y, o volume do sólido resultante pode ser calculado pela expressão
V=\pi \int_{\frac{1}{3}}^{2}\left[\left(\frac{7-3 y}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{y}\right)^{2}\right] d y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região cujas “fronteiras em x” são dadas por
x_{\rm exterior} = \frac{7-3y}{2} \quad\text{e}\quad x_{\rm interior} = \frac1y
para y variando de \tfrac13 até 2. Vamos usar o método dos discos (anéis), que dá
V = \pi \int_{y_1}^{y_2} \bigl[R_{\rm ext}(y)^2 - R_{\rm int}(y)^2\bigr]\,dy.

Passo 2

Expandimos o integrando:
\Bigl(\frac{7-3y}{2}\Bigr)^2 = \frac{49 - 42y + 9y^2}{4}, \qquad \Bigl(\frac1y\Bigr)^2 = y^{-2},
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V = \pi \int_{\frac13}^{2}\!\Bigl(\frac{49 - 42y + 9y^2}{4} - y^{-2}\Bigr)\,dy.

Passo 3

Calculamos uma antiderivada F(y) de \frac{49 - 42y + 9y^2}{4} - y^{-2}.
F(y) = \int \Bigl(\tfrac{49}{4} - \tfrac{42}{4}y + \tfrac{9}{4}y^2 - y^{-2}\Bigr) dy = \frac{49}{4}y - \frac{21}{4}y^2 + \frac{3}{4}y^3 + y^{-1}.

Passo 4

Agora avaliamos F nos limites:
F(2) = \frac{49}{4}\cdot2 - \frac{21}{4}\cdot4 + \frac{3}{4}\cdot8 + \tfrac12 = 10,
F\bigl(\tfrac13\bigr) = \frac{49}{4}\cdot\tfrac13 - \frac{21}{4}\cdot\tfrac{1}{9} + \frac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{27} + 3 = \frac{235}{36}.
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\int_{\frac13}^{2}\!\Bigl(\tfrac{49 - 42y + 9y^2}{4} - y^{-2}\Bigr)dy = F(2) - F\bigl(\tfrac13\bigr) = 10 - \frac{235}{36} = \frac{125}{36}.

Passo 5

Multiplicando por \pi, obtemos
V = \pi \cdot \frac{125}{36} = \frac{125\pi}{36}.

Resposta

\boxed{V = \frac{125\pi}{36}.}

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