Obtenha o volume do sólido obtido pela revolução da região delimitada por:
y=1-x^{2} e x-y=1, em torno da reta y=3;

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas
y = 1 - x^2
e
x - y = 1\quad\Longrightarrow\quad y = x - 1
em torno da reta y=3. O método mais direto aqui é o das arruelas (discos com furo), integrando em função de x.

Passo 2

Para determinar os limites de integração, achamos os pontos de interseção entre
1 - x^2 = x - 1.
Isso dá
x^2 + x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2} = 1,\;-2.
Logo, a região está em x\in[-2,1].

Passo 3

No intervalo [-2,1] vale
y_{\text{parábola}} = 1 - x^2 \;\ge\; y_{\text{reta}} = x - 1.á
Ao girar em torno de y=3, cada fatia em x gera uma arruela de raio externo
R(x)=3 - \bigl(y_{\text{reta}}\bigr)=3 - (x -1)=4 - x
e raio interno
r(x)=3 - \bigl(y_{\text{parábola}}\bigr)=3 - (1 - x^2)=2 + x^2.á

Passo 4

O volume é
V = \int_{x=-2}^{1} \pi\Bigl[R(x)^2 \;-\; r(x)^2\Bigr]\,dx =\pi\int_{-2}^{1}\Bigl[(4 - x)^2 - (2 + x^2)^2\Bigr]dx.

Passo 5

Expandindo e simplificando o integrando, obtemos
(4 - x)^2 = x^2 -8x +16, \quad (2 + x^2)^2 = x^4 +4x^2 +4,
logo
(4 - x)^2 - (2 + x^2)^2 = -\,x^4 \;-\;3x^2 \;-\;8x \;+\;12.
Assim
V = \pi\int_{-2}^{1}\bigl(-x^4 -3x^2 -8x +12\bigr)\,dx.

Passo 6

Uma primitiva é
F(x) = -\frac{x^5}{5} \;-\;x^3 \;-\;4x^2 \;+\;12x.
Avaliaremos de -2 a 1:
F(1)= -\tfrac{1}{5}-1-4+12 = \tfrac{34}{5}, \quad F(-2)= -\bigl(-\tfrac{32}{5}\bigr)-(-8)-16-24 = -\tfrac{128}{5},
então
V = \pi\bigl[F(1)-F(-2)\bigr] = \pi\cdot\frac{162}{5} = \frac{162\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{162\pi}{5}

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