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  1. Para uma determinada substância, \mathrm{Cp}\left(\mathrm{JK}^{\prime} \mathrm{mol}^{1}\right)=20,67+12,38 \times 10^{\wedge}-3(\mathrm{~T} / \mathrm{K}).
    a) Calcule o valor de dS se um mol dessa substância for aquecido de 30^{\circ} \mathrm{C} para 210^{\circ} \mathrm{C} à pressão constante.
    b) Qual o valor da entropia dessa substância a 300^{\circ} \mathrm{C}, se \mathrm{S}^{\circ}{ }_{298}=28,35 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{\wedge}-1 \mathrm{~mol}^{\wedge}-1 ?

Passo 1

O enunciado dá a capacidade calorífica molar dependente da temperatura, em unidades de \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}:
\mathrm{C}_p(T)=20{,}67+12{,}38\times10^{-3}\,T,
onde T está em Kelvin. São pedidas duas coisas:
  • (a) calcular \Delta S (variação de entropia) para 1 mol da substância ao ser aquecido de 30^\circ\mathrm{C} para 210^\circ\mathrm{C} à pressão constante;
  • (b) calcular a entropia da substância a 300^\circ\mathrm{C} sabendo que S^\circ_{298}=28{,}35\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
Informações numéricas relevantes extraídas do enunciado:
  • \mathrm{C}_p(T)=20{,}67+12{,}38\times10^{-3}\,T ( \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}});
  • temperaturas dadas em °C que devem ser convertidas para K:
    • 30^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_1=30+273{,}15=303{,}15\\ \mathrm{K};
    • 210^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_2=210+273{,}15=483{,}15\\ \mathrm{K};
    • 300^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T=300+273{,}15=573{,}15\\ \mathrm{K}.
  • valor de referência: S^\circ_{298}=28{,}35\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Passo 2

Conceito e fórmula a usar (explicação didática):
  • Em um processo à pressão constante, a variação de entropia quando a capacidade calorífica molar depende de T é dada por
\Delta S=\int_{T_{\text{inicial}}}^{T_{\text{final}}}\frac{C_p(T)}{T}\,dT.
Aqui \Delta S tem unidade \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}. A razão é: por definição elementar dS=\dfrac{\delta q_\text{rev}}{T} e, à pressão constante para uma substância simples, \delta q_\text{rev}=C_p(T)\,dT, daí surge a integral acima.
  • Observação importante: sempre usar temperaturas em Kelvin dentro da integral \dfrac{C_p(T)}{T}\,dT, porque a entropia envolve divisão por T absoluta.

Passo 3

Resolver a integral de forma simbólica (passo matemático que facilita a conta):
  • Escrever C_p(T) como a+bT, com a=20{,}67 e b=12{,}38\times10^{-3}.
  • Então
\frac{C_p(T)}{T}=\frac{a+bT}{T}=\frac{a}{T}+b.
  • Integramos:
\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\left(\frac{a}{T}+b\right)dT = a\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)+b\,(T_2-T_1).
Esta fórmula é muito útil: a parte \dfrac{a}{T} vira logaritmo e a parte constante b vira diferença de temperatura.

Passo 4

Aplicar a fórmula para o item (a) — cálculo numérico detalhado:
  • Valores:
    • a=20{,}67\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}},
    • b=12{,}38\times10^{-3}=0{,}01238\\ \mathrm{J\,K^{-2}\,mol^{-1}},
    • T_1=303{,}15\\ \mathrm{K},
    • T_2=483{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Usando
\Delta S = a\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)+b\,(T_2-T_1),
calcula-se cada termo:
Calcular o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\ln\!\left(\frac{483{,}15}{303{,}15}\right)\approx0{,}46612.
Multiplicar por a:
a\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\approx 20{,}67\times0{,}46612\approx9{,}64\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
Calcular a segunda parcela:
b\,(T_2-T_1)=0{,}01238\times(483{,}15-303{,}15)=0{,}01238\times180{,}00\approx2{,}23\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
Somando:
\Delta S\approx9{,}64+2{,}23=11{,}87\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
Interpretação rápida: ao aquecer de 30^\circ\mathrm{C} para 210^\circ\mathrm{C} a 1 mol recebe calor reversível que corresponde a um aumento de entropia de aproximadamente 11{,}87\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Passo 5

Aplicar a fórmula para o item (b) — encontrar S em 300^\circ\mathrm{C}:
  • Quer-se S em T_2=573{,}15\\ \mathrm{K} conhecendo S^\circ_{298} (em 298\\ \mathrm{K}). A relação é
S(T_2)=S^\circ_{298}+\int_{298}^{T_2}\frac{C_p(T)}{T}\,dT.
  • Usando a expressão integrada do Passo 3:
S(T_2)=S^\circ_{298}+a\ln\!\left(\frac{T_2}{298}\right)+b\,(T_2-298).
  • Substituindo números:
    • S^\circ_{298}=28{,}35\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}},
    • a=20{,}67,
    • b=0{,}01238,
    • T_2=573{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcular o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{573{,}15}{298}\right)\approx0{,}65408.
Multiplicar por a:
a\ln\!\left(\frac{T_2}{298}\right)\approx20{,}67\times0{,}65408\approx13{,}54\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
Calcular a segunda parcela:
b\,(T_2-298)=0{,}01238\times(573{,}15-298)=0{,}01238\times275{,}15\approx3{,}41\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
Somar tudo:
S(573{,}15\\ \mathrm{K})\approx28{,}35+13{,}54+3{,}41=45{,}29\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
Interpretação: a entropia padrão a 298\\ \mathrm{K} somada ao aumento devido ao aquecimento até 300^\circ\mathrm{C} dá aproximadamente 45{,}29\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Resposta

(a) \Delta S=11{,}87\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}
(b) S(300^\circ\mathrm{C})=45{,}29\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}

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