Em uma determinada unidade de processamento de bauxita, esta passou por diversas operações unitárias, entre as quais o espessamento do qual foi gerado um espessado cuja fração volumétrica é 0,43 de \mathrm{Al}(\mathrm{OH})_{3}. No sentido de avaliar a possibilidade da utilização de um filtro rotativo a vácuo de 0,29 \mathrm{~m}^{2} de área de filtração, foram realizados ensaios experimentais a 10 psi e ângulo de imersão igual a 90^{\circ}, cujos resultados estão apresentados na tabela abaixo, no qual se procurou manter a produção do volume do filtrado em 20 vezes o volume da torta. Estime o valor da capacidade desse filtro em termos de volume de filtrado por área de filtração, mantendo-se a mesma relação V / V_{T}, na operação do filtro a \Delta p=10 p s i ; 1,2 \mathrm{rpm}, sabendo-se que a suspensão apresenta \mu= 0,72 \mathrm{cP} e \rho=0,998 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, enquanto a massa específica do sólido é igual a 2,40 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.
\mathrm{N}(\mathrm{rpm})
0,011
0,046
0,110
0,370
0,520
\mathrm{C}(\mathrm{L} / \mathrm{min})
0,50
0,94
1,25
1,77
2,0
Passo 1
O que o enunciado pede: estimar a capacidade do filtro rotativo a vácuo (área de filtração 0,29\\ \mathrm{m}^{2}) em termos de volume de filtrado por área de filtração, mantendo a mesma relação V/V_{T}=20, para operação a \Delta p=10\\ \mathrm{psi} e 1{,}2\\ \mathrm{rpm}.
Dados fornecidos (retirei diretamente da tabela do enunciado): pares de velocidade do tambor N e vazão medida C:
Outras informações do enunciado (fornecidas): \mu=0{,}72\\ \mathrm{cP}, \rho=0{,}998\\ \mathrm{g/cm^{3}} e densidade sólida =2{,}40\\ \mathrm{g/cm^{3}}. Também: operação experimental foi a \Delta p=10\\ \mathrm{psi} e ângulo de imersão 90^{\circ}.
Observação importante (para não perder tempo na prova): os ensaios experimentais foram feitos nas mesmas condições de pressão e imersão pedidas para a operação final; portanto é razoável usar uma correlação empírica entre C e N obtida dos dados e extrapolar para N=1{,}2\\ \mathrm{rpm}. Mantendo V/V_{T}=20 não altera a relação vazão versus N medida experimentalmente (essa razão refere-se ao volume total de filtrado produzido por volume de torta formado), logo podemos usar a correlação diretamente para estimar a vazão esperada e então dividir pela área para obter capacidade por área.
Passo 2
Estratégia escolhida (por que usei isso): como temos medições experimentais de vazão C para diferentes rotações N com as mesmas demais condições, a forma mais direta e confiável é ajustar uma expressão empírica do tipo lei de potência
C = a\,N^{m},
que é simples, geralmente apropriada para correlações empíricas em filtros rotativos e fácil de extrapolar. Vou estimar os parâmetros a e m por regressão linear em escala logarítmica (transformação \ln), que converte a relação em
\ln C = m\,\ln N + \ln a.
Explicação didática do procedimento de regressão log-log: ao aplicar \ln a ambos os lados, obtemos uma reta em coordenadas (\ln N,\ln C). Fazendo a regressão linear simples sobre esses pontos obtemos coeficiente angular m (expoente da lei de potência) e intercepto \ln a. Isso é equivalente a linearizar para achar uma lei de potência que melhor ajuste os dados em sentido dos mínimos quadrados.
Passo 3
Calcular \ln N e \ln C para cada ponto (valor aproximado, mantive precisão suficiente para prova):
Para N=0{,}011: \ln 0{,}011 \approx -4{,}5099, \ln 0{,}50 \approx -0{,}6931.
Para N=0{,}046: \ln 0{,}046 \approx -3{,}0780, \ln 0{,}94 \approx -0{,}0619.
Para N=0{,}110: \ln 0{,}110 \approx -2{,}2073, \ln 1{,}25 \approx 0{,}2231.
Para N=0{,}370: \ln 0{,}370 \approx -0{,}9943, \ln 1{,}77 \approx 0{,}5710.
Para N=0{,}520: \ln 0{,}520 \approx -0{,}6539, \ln 2{,}00 \approx 0{,}6931.
Calcular o coeficiente angular m pela fórmula da regressão linear (soma dos produtos das diferenças dividido pela soma dos quadrados das diferenças em x):
Primeiro calcule \sum (\ln N_{i}-\overline{\ln N})(\ln C_{i}-\overline{\ln C}) \approx 3{,}4776.
Depois calcule \sum (\ln N_{i}-\overline{\ln N})^{2} \approx 9{,}9115.
Assim
m \approx \frac{3{,}4776}{9{,}9115} \approx 0{,}3508.
Passo 6
Calcular o intercepto \ln a:\ln a = \overline{\ln C} - m\,\overline{\ln N} \approx 0{,}1464 - 0{,}3508\cdot(-2{,}2887) \approx 0{,}9493.
Portanto a = e^{0{,}9493} \approx 2{,}584.
A lei de potência ajustada (resultado do ajuste) é então aproximadamente
C \approx 2{,}584\;N^{0{,}3508},
com C em \mathrm{L/min} e N em \mathrm{rpm}.
Passo 7
Prever a vazão C para N=1{,}2\\ \mathrm{rpm}:
\ln N = \ln 1{,}2 \approx 0{,}1823.
\ln C = m\,\ln N + \ln a \approx 0{,}3508\cdot 0{,}1823 + 0{,}9493 \approx 1{,}0132.
Logo C = e^{1{,}0132} \approx 2{,}754\\ \mathrm{L/min}.
Comentário didático: isso é uma extrapolação para um N maior que a maior medida (0,520 rpm), então na prova vale sempre comentar que extrapolações têm incerteza — mas aqui as demais condições permanecem iguais e a lei de potência ajusta razoavelmente bem os dados fornecidos.
Passo 8
Converter a vazão prevista para unidades volumétricas por área (capacidade):
Vazão prevista: C \approx 2{,}754\\ \mathrm{L/min} = 0{,}002754\\ \mathrm{m^{3}/min}.
Mantendo a mesma relação V/V_{T}=20 (como no ensaio), essa vazão por área representa a produção média esperada do filtro na operação solicitada. Se o objetivo fosse calcular tempos de ciclo e volume de torta por ciclo, usaríamos V = 20\,V_{T} e a vazão C prevista para achar tempo de filtragem; aqui o enunciado pede capacidade por área, então a informação acima é suficiente.
Note que não usei explicitamente viscosidade e densidades na modelagem porque os ensaios já foram feitos sob as mesmas \Delta p e propriedades de suspensão — a correlação empírica incorpora esses efeitos. Se não houvesse dados experimentais, seria necessário um tratamento teórico (resistência da torta, permeabilidade, etc.) que envolveria \mu, densidades e fração volumétrica do sólido.