Em uma determinada unidade de processamento de bauxita, esta passou por diversas operações unitárias, entre as quais o espessamento do qual foi gerado um espessado cuja fração volumétrica é 0,43 de \mathrm{Al}(\mathrm{OH})_{3}. No sentido de avaliar a possibilidade da utilização de um filtro rotativo a vácuo de 0,29 \mathrm{~m}^{2} de área de filtração, foram realizados ensaios experimentais a 10 psi e ângulo de imersão igual a 90^{\circ}, cujos resultados estão apresentados na tabela abaixo, no qual se procurou manter a produção do volume do filtrado em 20 vezes o volume da torta. Estime o valor da capacidade desse filtro em termos de volume de filtrado por área de filtração, mantendo-se a mesma relação V / V_{T}, na operação do filtro a \Delta p=10 p s i ; 1,2 \mathrm{rpm}, sabendo-se que a suspensão apresenta \mu= 0,72 \mathrm{cP} e \rho=0,998 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, enquanto a massa específica do sólido é igual a 2,40 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.
\mathrm{N}(\mathrm{rpm}) 0,011 0,046 0,110 0,370 0,520
\mathrm{C}(\mathrm{L} / \mathrm{min}) 0,50 0,94 1,25 1,77 2,0

Passo 1

  • O que o enunciado pede: estimar a capacidade do filtro rotativo a vácuo (área de filtração 0,29\\ \mathrm{m}^{2}) em termos de volume de filtrado por área de filtração, mantendo a mesma relação V/V_{T}=20, para operação a \Delta p=10\\ \mathrm{psi} e 1{,}2\\ \mathrm{rpm}.
  • Dados fornecidos (retirei diretamente da tabela do enunciado): pares de velocidade do tambor N e vazão medida C:
    • N=0{,}011\\ \mathrm{rpm}, C=0{,}50\\ \mathrm{L/min}
    • N=0{,}046\\ \mathrm{rpm}, C=0{,}94\\ \mathrm{L/min}
    • N=0{,}110\\ \mathrm{rpm}, C=1{,}25\\ \mathrm{L/min}
    • N=0{,}370\\ \mathrm{rpm}, C=1{,}77\\ \mathrm{L/min}
    • N=0{,}520\\ \mathrm{rpm}, C=2{,}00\\ \mathrm{L/min}
  • Outras informações do enunciado (fornecidas): \mu=0{,}72\\ \mathrm{cP}, \rho=0{,}998\\ \mathrm{g/cm^{3}} e densidade sólida =2{,}40\\ \mathrm{g/cm^{3}}. Também: operação experimental foi a \Delta p=10\\ \mathrm{psi} e ângulo de imersão 90^{\circ}.
  • Observação importante (para não perder tempo na prova): os ensaios experimentais foram feitos nas mesmas condições de pressão e imersão pedidas para a operação final; portanto é razoável usar uma correlação empírica entre C e N obtida dos dados e extrapolar para N=1{,}2\\ \mathrm{rpm}. Mantendo V/V_{T}=20 não altera a relação vazão versus N medida experimentalmente (essa razão refere-se ao volume total de filtrado produzido por volume de torta formado), logo podemos usar a correlação diretamente para estimar a vazão esperada e então dividir pela área para obter capacidade por área.

Passo 2

  • Estratégia escolhida (por que usei isso): como temos medições experimentais de vazão C para diferentes rotações N com as mesmas demais condições, a forma mais direta e confiável é ajustar uma expressão empírica do tipo lei de potência
C = a\,N^{m},
que é simples, geralmente apropriada para correlações empíricas em filtros rotativos e fácil de extrapolar. Vou estimar os parâmetros a e m por regressão linear em escala logarítmica (transformação \ln), que converte a relação em
\ln C = m\,\ln N + \ln a.
  • Explicação didática do procedimento de regressão log-log: ao aplicar \ln a ambos os lados, obtemos uma reta em coordenadas (\ln N,\ln C). Fazendo a regressão linear simples sobre esses pontos obtemos coeficiente angular m (expoente da lei de potência) e intercepto \ln a. Isso é equivalente a linearizar para achar uma lei de potência que melhor ajuste os dados em sentido dos mínimos quadrados.

Passo 3

  • Calcular \ln N e \ln C para cada ponto (valor aproximado, mantive precisão suficiente para prova):
    • Para N=0{,}011: \ln 0{,}011 \approx -4{,}5099, \ln 0{,}50 \approx -0{,}6931.
    • Para N=0{,}046: \ln 0{,}046 \approx -3{,}0780, \ln 0{,}94 \approx -0{,}0619.
    • Para N=0{,}110: \ln 0{,}110 \approx -2{,}2073, \ln 1{,}25 \approx 0{,}2231.
    • Para N=0{,}370: \ln 0{,}370 \approx -0{,}9943, \ln 1{,}77 \approx 0{,}5710.
    • Para N=0{,}520: \ln 0{,}520 \approx -0{,}6539, \ln 2{,}00 \approx 0{,}6931.

Passo 4

  • Calcular médias:
    • \displaystyle \overline{\ln N} = \frac{-4{,}5099-3{,}0780-2{,}2073-0{,}9943-0{,}6539}{5} \approx -2{,}2887.
    • \displaystyle \overline{\ln C} = \frac{-0{,}6931-0{,}0619+0{,}2231+0{,}5710+0{,}6931}{5} \approx 0{,}1464.

Passo 5

  • Calcular o coeficiente angular m pela fórmula da regressão linear (soma dos produtos das diferenças dividido pela soma dos quadrados das diferenças em x):
    • Primeiro calcule \sum (\ln N_{i}-\overline{\ln N})(\ln C_{i}-\overline{\ln C}) \approx 3{,}4776.
    • Depois calcule \sum (\ln N_{i}-\overline{\ln N})^{2} \approx 9{,}9115.
    • Assim
    m \approx \frac{3{,}4776}{9{,}9115} \approx 0{,}3508.

Passo 6

  • Calcular o intercepto \ln a: \ln a = \overline{\ln C} - m\,\overline{\ln N} \approx 0{,}1464 - 0{,}3508\cdot(-2{,}2887) \approx 0{,}9493.
    • Portanto a = e^{0{,}9493} \approx 2{,}584.
  • A lei de potência ajustada (resultado do ajuste) é então aproximadamente
C \approx 2{,}584\;N^{0{,}3508},
com C em \mathrm{L/min} e N em \mathrm{rpm}.

Passo 7

  • Prever a vazão C para N=1{,}2\\ \mathrm{rpm}:
    • \ln N = \ln 1{,}2 \approx 0{,}1823.
    • \ln C = m\,\ln N + \ln a \approx 0{,}3508\cdot 0{,}1823 + 0{,}9493 \approx 1{,}0132.
    • Logo C = e^{1{,}0132} \approx 2{,}754\\ \mathrm{L/min}.
  • Comentário didático: isso é uma extrapolação para um N maior que a maior medida (0,520 rpm), então na prova vale sempre comentar que extrapolações têm incerteza — mas aqui as demais condições permanecem iguais e a lei de potência ajusta razoavelmente bem os dados fornecidos.

Passo 8

  • Converter a vazão prevista para unidades volumétricas por área (capacidade):
    • Vazão prevista: C \approx 2{,}754\\ \mathrm{L/min} = 0{,}002754\\ \mathrm{m^{3}/min}.
    • Área de filtração: A=0{,}29\\ \mathrm{m^{2}}.
    • Vazão por área (volume por área por minuto):
    \frac{C}{A} = \frac{0{,}002754\\ \mathrm{m^{3}/min}}{0{,}29\\ \mathrm{m^{2}}} \approx 0{,}009497\\ \mathrm{m^{3}/(m^{2}\cdot min)}.
    • Converter para unidades mais usuais: por hora
    0{,}009497\\ \mathrm{m^{3}/(m^{2}\cdot min)}\times 60 \approx 0{,}5698\\ \mathrm{m^{3}/(m^{2}\cdot h)}.
    • Em litros por metro quadrado por hora:
    0{,}5698\\ \mathrm{m^{3}/(m^{2}\cdot h)} = 569{,}8\\ \mathrm{L/(m^{2}\cdot h)}.
    • Em \mathrm{L/(min\cdot m^{2})}:
    \frac{2{,}754\\ \mathrm{L/min}}{0{,}29\\ \mathrm{m^{2}}} \approx 9{,}50\\ \mathrm{L/(min\cdot m^{2})}.

Passo 9

  • Observações finais didáticas e de uso prático:
    • Mantendo a mesma relação V/V_{T}=20 (como no ensaio), essa vazão por área representa a produção média esperada do filtro na operação solicitada. Se o objetivo fosse calcular tempos de ciclo e volume de torta por ciclo, usaríamos V = 20\,V_{T} e a vazão C prevista para achar tempo de filtragem; aqui o enunciado pede capacidade por área, então a informação acima é suficiente.
    • Note que não usei explicitamente viscosidade e densidades na modelagem porque os ensaios já foram feitos sob as mesmas \Delta p e propriedades de suspensão — a correlação empírica incorpora esses efeitos. Se não houvesse dados experimentais, seria necessário um tratamento teórico (resistência da torta, permeabilidade, etc.) que envolveria \mu, densidades e fração volumétrica do sólido.

Resposta

C \approx 2{,}75\\ \mathrm{L/min} (vazão prevista para N=1{,}2\\ \mathrm{rpm})
\displaystyle \frac{C}{A}\approx 9{,}50\\ \mathrm{L/(min\cdot m^{2})}
\displaystyle \frac{C}{A}\approx 569{,}8\\ \mathrm{L/(m^{2}\cdot h)}
\displaystyle \frac{C}{A}\approx 0{,}570\\ \mathrm{m^{3}/(m^{2}\cdot h)}

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