Em um filtro prensa foi realizado um ensaio com uma suspensão aquosa cuja concentração de sólidos foi de 8000 \mathrm{~g} / \mathrm{L} a uma diferença de pressão de 0,2 \mathrm{kPa}. Os dados experimentais obtidos foram ajustados na forma \frac{t}{V}=3,6 \cdot 10^{10} V+4,0 \cdot 10^{5} em que t está em segundos e V em litros. Sabe-se que a resistência da torta é 8,7 \cdot 10^{10} \mathrm{~m} / \mathrm{kg} e a viscosidade da água é 0,9 \mathrm{cP}. A partir dessas informações, responda: Dentre os tipos de filtração que você conhece, qual está sendo abordado? Determine a resistência do meio filtrante. Dado: 1 Pa.s =1.000 \mathrm{cP}.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas claras:
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Concentração de sólidos: } C_s = 8000\\ \mathrm{g/L} \\\ &\text{Diferença de pressão: } \Delta P = 0{,}2\\ \mathrm{kPa} \\\ &\text{Ajuste experimental: } \frac{t}{V}=3{,}6\cdot10^{10}V+4{,}0\cdot10^{5}\quad(\text{onde }t\text{ em s e }V\text{ em L})\\\ &\text{Resistência da torta (fornecida): } \alpha = 8{,}7\cdot10^{10}\\ \mathrm{m/kg}\\\ &\text{Viscosidade da água: } \mu = 0{,}9\\ \mathrm{cP} \end{aligned}
Determinar a resistência do meio filtrante (isto é, R_m).
Passo 2
Vamos explicar a teoria necessária e a fórmula que conecta os dados experimentais com as grandezas físicas que queremos. Para filtração a pressão constante com torta incompressível (ou com \alpha praticamente constante) a integração da lei de Darcy dá a equação clássica integrada:
R_m V + \frac{\alpha C_s V^2}{2A} = \frac{\Delta P\,A}{\mu}\,t,
onde:
R_m é a resistência do meio filtrante (unidade \mathrm{m^{-1}});
V é o volume filtrado (unidade \mathrm{m^{3}});
\alpha é a resistência específica da torta (unidade \mathrm{m/kg});
C_s é a concentração de sólidos da suspensão (unidade \mathrm{kg/m^{3}});
A é a área de filtração (unidade \mathrm{m^{2}});
\Delta P é a diferença de pressão (unidade \mathrm{Pa});
\mu é a viscosidade do fluido (unidade \mathrm{Pa\cdot s});
t é o tempo (unidade \mathrm{s}).
Reorganizando para obter uma forma linear em V (a mesma forma do ajuste experimental \tfrac{t}{V} versus V):
o termo linear em V (coeficiente angular) permite relacionar \alpha, C_s, \mu, \Delta P e A;
o intercepto permite obter R_m se conhecermos A (ou vice-versa).
Essa forma linear é típica de filtração a pressão constante com torta incompressível. Vou usar essa fórmula para extrair primeiro a área A (usando o \alpha dado e o coeficiente angular da reta) e depois R_m (usando o intercepto).
Passo 3
Primeiro converto todas as grandezas para unidades SI:
Precisamos reescrever essa relação usando V em \mathrm{m^3}. Seja V_{L} o volume em litros e V o volume em \mathrm{m^3}. Temos V_{L}=1000\,V. A relação se transforma assim:
A forma linear \tfrac{t}{V} versus V indica que \alpha pode ser tratada como constante (torta incompressível) e que a filtração foi feita a pressão constante — isto é típico de ensaio em filtro-prensa a pressão constante.
A resistência do meio filtrante R_m obtida tem unidade \mathrm{m^{-1}} como esperado e o valor numérico é coerente com ordens de magnitude usadas em problemas de filtração de laboratório (lembrando que os valores dependem fortemente da área do equipamento; aqui o cálculo forneceu uma área muito pequena, compatível com uma célula de bancada).
Resposta
Filtração a pressão constante (ensaio de filtro-prensa) com torta incompressível (modelo com \alpha constante). R_m \approx 1{,}85\cdot10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}