Em um filtro prensa foi realizado um ensaio com uma suspensão aquosa cuja concentração de sólidos foi de 8000 \mathrm{~g} / \mathrm{L} a uma diferença de pressão de 0,2 \mathrm{kPa}. Os dados experimentais obtidos foram ajustados na forma \frac{t}{V}=3,6 \cdot 10^{10} V+4,0 \cdot 10^{5} em que t está em segundos e V em litros. Sabe-se que a resistência da torta é 8,7 \cdot 10^{10} \mathrm{~m} / \mathrm{kg} e a viscosidade da água é 0,9 \mathrm{cP}. A partir dessas informações, responda: Dentre os tipos de filtração que você conhece, qual está sendo abordado? Determine a resistência do meio filtrante. Dado: 1 Pa.s =1.000 \mathrm{cP}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    \begin{aligned} &\text{Concentração de sólidos: } C_s = 8000\\ \mathrm{g/L} \\\ &\text{Diferença de pressão: } \Delta P = 0{,}2\\ \mathrm{kPa} \\\ &\text{Ajuste experimental: } \frac{t}{V}=3{,}6\cdot10^{10}V+4{,}0\cdot10^{5}\quad(\text{onde }t\text{ em s e }V\text{ em L})\\\ &\text{Resistência da torta (fornecida): } \alpha = 8{,}7\cdot10^{10}\\ \mathrm{m/kg}\\\ &\text{Viscosidade da água: } \mu = 0{,}9\\ \mathrm{cP} \end{aligned}çãóçãêá
    Observação de unidades: 1\\ \mathrm{cP}=10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}; 1\\ \mathrm{kPa}=10^{3}\\ \mathrm{Pa}; 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Perguntas:
    1. Qual tipo de filtração está sendo abordado?
    2. Determinar a resistência do meio filtrante (isto é, R_m).

Passo 2

Vamos explicar a teoria necessária e a fórmula que conecta os dados experimentais com as grandezas físicas que queremos. Para filtração a pressão constante com torta incompressível (ou com \alpha praticamente constante) a integração da lei de Darcy dá a equação clássica integrada:
R_m V + \frac{\alpha C_s V^2}{2A} = \frac{\Delta P\,A}{\mu}\,t,
onde:
  • R_m é a resistência do meio filtrante (unidade \mathrm{m^{-1}});
  • V é o volume filtrado (unidade \mathrm{m^{3}});
  • \alpha é a resistência específica da torta (unidade \mathrm{m/kg});
  • C_s é a concentração de sólidos da suspensão (unidade \mathrm{kg/m^{3}});
  • A é a área de filtração (unidade \mathrm{m^{2}});
  • \Delta P é a diferença de pressão (unidade \mathrm{Pa});
  • \mu é a viscosidade do fluido (unidade \mathrm{Pa\cdot s});
  • t é o tempo (unidade \mathrm{s}).
Reorganizando para obter uma forma linear em V (a mesma forma do ajuste experimental \tfrac{t}{V} versus V):
\frac{t}{V} = \underbrace{\frac{\mu \alpha C_s}{2\Delta P\,A^2}}_{\text{slope}}\,V \;+\; \underbrace{\frac{\mu R_m}{\Delta P\,A}}_{\text{intercept}}.
Portanto:
  • o termo linear em V (coeficiente angular) permite relacionar \alpha, C_s, \mu, \Delta P e A;
  • o intercepto permite obter R_m se conhecermos A (ou vice-versa).
Essa forma linear é típica de filtração a pressão constante com torta incompressível. Vou usar essa fórmula para extrair primeiro a área A (usando o \alpha dado e o coeficiente angular da reta) e depois R_m (usando o intercepto).

Passo 3

Primeiro converto todas as grandezas para unidades SI:
  • Viscosidade: \mu = 0{,}9\\ \mathrm{cP} = 0{,}9\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}=9{,}0\cdot10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Pressão: \Delta P = 0{,}2\\ \mathrm{kPa}=200\\ \mathrm{Pa}.
  • Concentração de sólidos: C_s = 8000\\ \mathrm{g/L} = 8{,}0\\ \mathrm{kg/L}. Como 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^3}, temos C_s = 8{,}0\\ \mathrm{kg/L} = 8{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^3}=8000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • \alpha = 8{,}7\cdot10^{10}\\ \mathrm{m/kg} (já em SI).
Agora ajustamento experimental foi dado em termos de V em litros:
\frac{t}{V(\text{L})}=3{,}6\cdot10^{10}V(\text{L})+4{,}0\cdot10^{5}.
Precisamos reescrever essa relação usando V em \mathrm{m^3}. Seja V_{L} o volume em litros e V o volume em \mathrm{m^3}. Temos V_{L}=1000\,V. A relação se transforma assim:
\frac{t}{V} \Big|_{V\\ \text{em }\mathrm{m^3}} = 1000\cdot\frac{t}{V_{L}} = 1000\left(3{,}6\cdot10^{10}V_{L}+4{,}0\cdot10^{5}\right).
Substituindo V_{L}=1000V (aqui V em \mathrm{m^3}) obtemos:
\frac{t}{V}=1000\left(3{,}6\cdot10^{10}\cdot 1000V +4{,}0\cdot10^{5}\right) = \underbrace{3{,}6\cdot10^{16}}_{\text{slope (métrica)}}V + \underbrace{4{,}0\cdot10^{8}}_{\text{intercept (métrica)}}.éé
Portanto, em unidades SI (com V em \mathrm{m^3} e t em s) obtemos:
\frac{t}{V}=3{,}6\cdot10^{16}\,V + 4{,}0\cdot10^{8}.
Aqui:
  • coeficiente angular experimental m_{\text{exp}}=3{,}6\cdot10^{16} (unidade \mathrm{s/m^{6}}, coerente com a forma \tfrac{t}{V} versus V);
  • intercepto experimental b_{\text{exp}}=4{,}0\cdot10^{8} (unidade \mathrm{s/m^{3}}).

Passo 4

Agora uso a relação teórica do slope para determinar a área A. A relação é:
m_{\text{exp}}=\frac{\mu \alpha C_s}{2\Delta P\,A^2}.
Isolando A:
A^2=\frac{\mu \alpha C_s}{2\Delta P\,m_{\text{exp}}} \qquad\Rightarrow\qquad A=\sqrt{\frac{\mu \alpha C_s}{2\Delta P\,m_{\text{exp}}}}.
Substituo os valores numéricos (todos em SI):
\begin{aligned} \mu \alpha C_s &= (9{,}0\cdot10^{-4})\cdot(8{,}7\cdot10^{10})\cdot(8{,}0\cdot10^{3}) \\\ &= 6{,}264\cdot10^{11}. \end{aligned}
2\Delta P\,m_{\text{exp}} = 2\cdot 200 \cdot 3{,}6\cdot10^{16} = 1{,}44\cdot10^{19}.
Logo
A^2=\frac{6{,}264\cdot10^{11}}{1{,}44\cdot10^{19}}=4{,}347\cdot10^{-8},
A=\sqrt{4{,}347\cdot10^{-8}}=2{,}09\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Portanto a área de filtração estimada a partir dos dados é A\approx 2{,}09\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}} (aprox. 2{,}09\\ \mathrm{cm^{2}}).

Passo 5

Com A em mãos, uso o intercepto experimental para achar R_m. A relação do intercepto teórico é:
b_{\text{exp}}=\frac{\mu R_m}{\Delta P\,A}.
Isolando R_m:
R_m = \frac{b_{\text{exp}}\,\Delta P\,A}{\mu}.
Substituo os valores (todos em SI):
\begin{aligned} b_{\text{exp}} &= 4{,}0\cdot10^{8}\\ \mathrm{s/m^{3}},\\\ \Delta P &= 200\\ \mathrm{Pa},\\\ A &= 2{,}09\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}},\\\ \mu &= 9{,}0\cdot10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}. \end{aligned}
Cálculo numérico:
\text{numerador}=4{,}0\cdot10^{8}\times 200 \times 2{,}09\cdot10^{-4}=1{,}668\cdot10^{7},
R_m=\frac{1{,}668\cdot10^{7}}{9{,}0\cdot10^{-4}} \approx 1{,}85\cdot10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida:
  • A forma linear \tfrac{t}{V} versus V indica que \alpha pode ser tratada como constante (torta incompressível) e que a filtração foi feita a pressão constante — isto é típico de ensaio em filtro-prensa a pressão constante.
  • A resistência do meio filtrante R_m obtida tem unidade \mathrm{m^{-1}} como esperado e o valor numérico é coerente com ordens de magnitude usadas em problemas de filtração de laboratório (lembrando que os valores dependem fortemente da área do equipamento; aqui o cálculo forneceu uma área muito pequena, compatível com uma célula de bancada).

Resposta

Filtração a pressão constante (ensaio de filtro-prensa) com torta incompressível (modelo com \alpha constante).
R_m \approx 1{,}85\cdot10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}

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