Em um filtro prensa foi realizado um ensaio com uma suspensão aquosa de 80 g sólido/litro de água a uma diferença de pressão de 5,4 \times 10^{5}\left[\left(\mathrm{~g} . \mathrm{cm} / \mathrm{s}^{2}\right) / \mathrm{cm}^{2}\right]. Os dados experimentais obtidos foram ajustados na forma \frac{t}{V}=3,94 \times 10^{-6} V+0,0137 e mostraram que a relação entre a massa de torta úmida e a massa de torta seca foi 1,8 . Determine o valor da resistividade média da torta. Sabe-se, ainda, que a massa específica da partícula é \rho_{p}=2,9 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e que a resistência do meio filtrante é 10^{8} \mathrm{~cm}^{-1}. Dados da água: \rho=1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, \mu=0,9 \mathrm{cP}.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a resistividade média da torta (o valor de \alpha, com unidades \mathrm{cm}/\mathrm{g}) a partir de um ensaio de filtração em pressão constante. Dados fornecidos (vou listar e já passar para unidades compatíveis com o sistema cgs usado em filtração):
\Delta P = 5{,}4\times10^{5}\\ \left[\frac{\text{g}\cdot\text{cm}}{\text{s}^2\cdot\text{cm}^2}\right]\\ (\text{ou dyn}/\text{cm}^2),
a reta ajustada foi
\frac{t}{V}=3{,}94\times10^{-6}\,V+0{,}0137,
relação massa torta úmida / massa torta seca =1{,}8 (vou usar isso mais adiante para calcular porosidade da torta),
densidade da partícula
\rho_p = 2{,}9\\ \mathrm{g/cm^3},
resistência do meio filtrante (meio suporte)
R_m = 10^{8}\\ \mathrm{cm^{-1}},
dados da água:
\rho = 1{,}0\\ \mathrm{g/cm^3},\qquad \mu = 0{,}9\\ \mathrm{cP}.
Informações implícitas e unidades que vou usar:
  • A concentração de sólidos do ensaio: 80\\ \mathrm{g/L} = 80/1000 = 0{,}08\\ \mathrm{g/cm^3}. Vou chamar isso de c.
  • Converter viscosidade: 1\\ \mathrm{cP}=0{,}01\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}, logo \mu=0{,}9\cdot0{,}01=0{,}009\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}.
  • A incógnita principal: a resistividade média da torta \alpha (unidade \mathrm{cm/g}).

Passo 2

Vou deduzir a forma de trabalho da equação de filtração em pressão constante (passo-a-passo, explicando cada termo).
  • Definições e ideia física: à medida que o líquido passa pelo meio filtrante, forma-se uma torta de sólidos; a resistência total ao fluxo é a soma da resistência do meio suporte R_m e da resistência da torta, que cresce com a massa de sólidos retida. A lei de Darcy para fluxo através de uma resistência total R' (medida em \mathrm{cm^{-1}}) dá velocidade superficial j (cm/s):
j=\frac{Q}{A}=\frac{\Delta P}{\mu\,R'},
onde Q=dV/dt (cm^3/s) é vazão volumétrica e A (cm^2) é a área de filtração.
  • A resistência total por unidade de área R' é
R' = R_m + \alpha\frac{m_s}{A},
onde m_s é a massa de sólidos secos acumulada na torta (g) e \alpha é a resistividade específica da torta ( \mathrm{cm/g}). Observação: \alpha\frac{m_s}{A} tem unidades \mathrm{cm^{-1}}, compatível.
  • Relação entre massa de sólidos e volume filtrado: assumindo que todos os sólidos do líquido são retidos na torta, a massa de sólidos seca acumulada é
m_s = c\,V,
onde c é a concentração de sólidos na suspensão ( \mathrm{g/cm^3}) e V é o volume de filtrado coletado ( \mathrm{cm^3}).
  • Substituindo tudo em Darcy e isolando dt:
\frac{dV}{dt}=\frac{A^2\Delta P}{\mu\left(R_m A+\alpha m_s\right)}=\frac{A^2\Delta P}{\mu\left(R_m A+\alpha c V\right)}.
Reescrevendo para integrar:
dt=\frac{\mu\left(R_m A+\alpha c V\right)}{A^2\Delta P}\,dV.
  • Integrando de 0 a t e 0 a V:
t=\frac{\mu}{A^2\Delta P}\left(R_m A\,V+\frac{\alpha c V^2}{2}\right).
Dividindo por V obtemos a forma linear clássica usada para ajuste:
\frac{t}{V}=\frac{\mu \alpha c}{2A^2\Delta P}\,V+\frac{\mu R_m}{A\Delta P}.
  • Interpretação: a forma \dfrac{t}{V}=aV+b tem
a=\frac{\mu \alpha c}{2A^2\Delta P}\qquad\text{(coeficiente angular)},
b=\frac{\mu R_m}{A\Delta P}\qquad\text{(intercepto)}.

Passo 3

A partir das expressões acima eu consigo determinar a área A a partir do intercepto b e depois \alpha a partir do coeficiente angular a.
  • Isolando A de b=\dfrac{\mu R_m}{A\Delta P}:
A=\frac{\mu R_m}{b\,\Delta P}.
  • Isolando \alpha de a=\dfrac{\mu \alpha c}{2A^2\Delta P}:
\alpha=\frac{2A^2\Delta P\,a}{\mu c}.
Vou usar essas duas fórmulas com os valores numéricos conhecidos.

Passo 4

Cálculo numérico dos parâmetros intermediários (concentração e área):
  • Concentração dos sólidos (já convertida):
c=80\\ \mathrm{g/L}=0{,}08\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Viscosidade (já convertida):
\mu=0{,}9\\ \mathrm{cP}=0{,}009\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}.
  • Intercepto fornecido:
b=0{,}0137\\ \mathrm{s/cm^3}.
  • Calcular a área A:
A=\frac{\mu R_m}{b\,\Delta P} =\frac{0{,}009\times 10^{8}}{0{,}0137\times 5{,}4\times 10^{5}}.
Faço a conta passo a passo:
\mu R_m=0{,}009\times 10^{8}=9{,}0\times10^{5},
b\,\Delta P=0{,}0137\times 5{,}4\times10^{5}=7{,}398\times10^{3},
A=\frac{9{,}0\times10^{5}}{7{,}398\times10^{3}}\approx 121{,}7\\ \mathrm{cm^2}.

Passo 5

Cálculo da resistividade média \alpha a partir do coeficiente angular a.
  • Coeficiente angular dado:
a=3{,}94\times10^{-6}\\ \mathrm{s/cm^6}\quad(\text{mesma unidade que }t/V\text{ sobre }V).
  • Uso da fórmula
\alpha=\frac{2A^2\Delta P\,a}{\mu c}.
Substituindo números (faço passo a passo):
A^2\approx(121{,}7)^2\approx 1{,}48\times10^{4}\\ \mathrm{cm^4},
2A^2\Delta P\,a \approx 2\times1{,}48\times10^{4}\times 5{,}4\times10^{5}\times 3{,}94\times10^{-6}\approx 6{,}304\times10^{4},
\mu c =0{,}009\times 0{,}08=7{,}2\times10^{-4}.
Logo
\alpha \approx \frac{6{,}304\times10^{4}}{7{,}2\times10^{-4}}\approx 8{,}76\times10^{7}\\ \mathrm{cm/g}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\alpha \approx 8{,}76\times10^{7}\\ \mathrm{cm/g}.

Passo 6

Uso do dado massa torta úmida / seca =1{,}8 para calcular a porosidade da torta (checar coerência; isso não alterou o cálculo anterior, mas é informação útil):
  • Se m_{úmida}/m_{seca}=1{,}8ú, então massa de água na torta por unidade de massa seca é 0{,}8 g água/g sólido seco.
  • Volume de sólidos por g seco:
V_s=\frac{1}{\rho_p}=\frac{1}{2{,}9}\approx 0{,}3448\\ \mathrm{cm^3/g}.
  • Volume de água por g seco:
V_w=\frac{0{,}8}{\rho}=0{,}8\\ \mathrm{cm^3/g}.
  • Volume total da torta por g seco:
V_{tot}=V_s+V_w\approx 0{,}3448+0{,}8=1{,}1448\\ \mathrm{cm^3/g}.
  • Porosidade (fração volumétrica de vazio preenchido por água):
\varepsilon=\frac{V_w}{V_{tot}}\approx\frac{0{,}8}{1{,}1448}\approx 0{,}699\approx 0{,}70.
Comentário: porosidade \approx70\% é razoável para tortas frouxas; esse resultado é apenas uma checagem de consistência com o enunciado.

Resposta

\alpha \approx 8{,}76\times10^{7}\\ \mathrm{cm/g}

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