Em um filtro prensa foi realizado um ensaio com uma suspensão aquosa de 80 g sólido/litro de água a uma diferença de pressão de
. Os dados experimentais obtidos foram ajustados na forma
e mostraram que a relação entre a massa de torta úmida e a massa de torta seca foi 1,8 . Determine o valor da resistividade média da torta. Sabe-se, ainda, que a massa específica da partícula é
e que a resistência do meio filtrante é
. Dados da água:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a resistividade média da torta (o valor de
, com unidades
) a partir de um ensaio de filtração em pressão constante. Dados fornecidos (vou listar e já passar para unidades compatíveis com o sistema cgs usado em filtração):
a reta ajustada foi
relação massa torta úmida / massa torta seca
(vou usar isso mais adiante para calcular porosidade da torta),
densidade da partícula
densidade da partícula
resistência do meio filtrante (meio suporte)
dados da água:
Informações implícitas e unidades que vou usar:
- A concentração de sólidos do ensaio:
. Vou chamar isso de . - Converter viscosidade:
, logo . - A incógnita principal: a resistividade média da torta
(unidade ).
Passo 2
Vou deduzir a forma de trabalho da equação de filtração em pressão constante (passo-a-passo, explicando cada termo).
- Definições e ideia física: à medida que o líquido passa pelo meio filtrante, forma-se uma torta de sólidos; a resistência total ao fluxo é a soma da resistência do meio suporte
e da resistência da torta, que cresce com a massa de sólidos retida. A lei de Darcy para fluxo através de uma resistência total (medida em ) dá velocidade superficial (cm/s):
onde
(cm^3/s) é vazão volumétrica e
(cm^2) é a área de filtração.
- A resistência total por unidade de área
é
onde
é a massa de sólidos secos acumulada na torta (g) e
é a resistividade específica da torta (
). Observação:
tem unidades
, compatível.
- Relação entre massa de sólidos e volume filtrado: assumindo que todos os sólidos do líquido são retidos na torta, a massa de sólidos seca acumulada é
onde
é a concentração de sólidos na suspensão (
) e
é o volume de filtrado coletado (
).
- Substituindo tudo em Darcy e isolando
:
Reescrevendo para integrar:
- Integrando de
a e a :
Dividindo por
obtemos a forma linear clássica usada para ajuste:
- Interpretação: a forma
tem
Passo 3
A partir das expressões acima eu consigo determinar a área
a partir do intercepto
e depois
a partir do coeficiente angular
.
- Isolando
de :
- Isolando
de :
Vou usar essas duas fórmulas com os valores numéricos conhecidos.
Passo 4
Cálculo numérico dos parâmetros intermediários (concentração e área):
- Concentração dos sólidos (já convertida):
- Viscosidade (já convertida):
- Intercepto fornecido:
- Calcular a área
:
Faço a conta passo a passo:
Passo 5
Cálculo da resistividade média
a partir do coeficiente angular
.
- Coeficiente angular dado:
- Uso da fórmula
Substituindo números (faço passo a passo):
Logo
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 6
Uso do dado massa torta úmida / seca
para calcular a porosidade da torta (checar coerência; isso não alterou o cálculo anterior, mas é informação útil):
- Se
, então massa de água na torta por unidade de massa seca é g água/g sólido seco. - Volume de sólidos por g seco:
- Volume de água por g seco:
- Volume total da torta por g seco:
- Porosidade (fração volumétrica de vazio preenchido por água):
Comentário: porosidade
é razoável para tortas frouxas; esse resultado é apenas uma checagem de consistência com o enunciado.