Um determinado banco deseja ter informação sobre o tempo de utilização de seus caixas eletrônicos pelos clientes, em determinada região, nos fins de semana. Mais especificamente, deseja estimar a proporção p de usuários dessa região, que demoram 2 minutos ou mais para realizarem suas operações. Uma amostra aleatória de clientes que utilizam caixas eletrônicos em fins de semana nessa região será coletada, e o tempo de utilização de cada um será registrado.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • O objetivo do banco é estimar a proporção p de usuários, numa determinada região e nos fins de semana, que demoram 2 minutos ou mais para realizar operações em caixas eletrônicos.
  • Será coletada uma amostra aleatória de clientes que utilizam caixas eletrônicos nos fins de semana e será registrado o tempo de utilização de cada um.
O que o enunciado NÃO diz (informações que fariam falta para dar uma resposta numérica direta):
  • Não está explícito o que exatamente se pede: construir um intervalo de confiança para p? testar uma hipótese sobre p? determinar o tamanho da amostra necessário para estimar p com certa precisão?
  • Não foram fornecidos dados numéricos da amostra (por exemplo n e x, onde x é o número de clientes com tempo \ge 2 minutos).
  • Não foi dado nível de confiança (por exemplo 95\%) nem margem de erro desejada (por exemplo E=0{,}03) quando o pedido é dimensionar amostra ou construir intervalo.
    Conclusão do passo: com o enunciado como está, não há como calcular um valor final numérico. Abaixo eu explico, passo a passo e com didática, as possíveis coisas que usualmente se pede e como resolvê-las na prova — fórmulas, interpretação e exemplos ilustrativos.

Passo 2

O que é a proporção p e como a estimamos na prática.
  • Definição: p é a proporção verdadeira da população (naquela região, fins de semana) de usuários que demoram pelo menos 2 minutos.
  • Na amostra, se o tamanho da amostra for n e o número de usuários com tempo \ge 2 min for x, a estimativa amostral (estimador pontual) é a proporção amostral
\hat{p}=\frac{x}{n}.
Explicando: \hat{p} é simplesmente a fração da amostra que satisfaz a condição; por exemplo, se entre n=200 clientes x=50 demoraram \ge 2 min, então \hat{p}=50/200=0{,}25.

Passo 3

Como construir um intervalo de confiança (IC) para p — fórmula, significado e passo a passo.
  • Situação clássica: queremos um IC de nível 100(1-\alpha)\% (ex.: 95\%, 90\%, 99\%).
  • Fórmula (aproximação normal, válida quando a amostra é grande o suficiente):
\text{IC:}\qquad \hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Explanação das letras:
  • \hat{p} é a proporção amostral (definida no passo anterior).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão: por exemplo z_{0{,}025}=1{,}96 para 95\% de confiança; z_{0{,}05}=1{,}645 para 90\%; z_{0{,}005}=2{,}575 para 99\%.
  • A expressão \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão da proporção.
  • Interpretação: com esse IC, se o procedimento for repetido muitas vezes, cerca de 100(1-\alpha)\% dos intervalos construídos conterão o verdadeiro p.
Condição de validade da aproximação normal:
  • Em geral, usar a aproximação normal quando n\hat p \ge 10 e n(1-\hat p)\ge 10. Se não for satisfeito, usar intervalos exatos (Clopper–Pearson) ou métodos de correção.
Exemplo ilustrativo (apenas para mostrar cálculo):
  • Suponha hipoteticamente n=200 e x=50 (logo \hat p=0{,}25), e nível de confiança 95\% ( z_{0{,}025}=1{,}96).
  • Erro padrão: \sqrt{\dfrac{0{,}25\cdot(1-0{,}25)}{200}}=\sqrt{\dfrac{0{,}25\cdot0{,}75}{200}}=\sqrt{\dfrac{0{,}1875}{200}}=\sqrt{0{,}0009375}\approx0{,}0306.
  • Margem de erro: 1{,}96\times0{,}0306\approx0{,}0599.
  • IC: 0{,}25\pm0{,}0599 \Rightarrow [0{,}1901,\;0{,}3099].
    Nota: esse é um exemplo ilustrativo; não use esses números como resposta ao enunciado porque os valores n e x não foram informados.

Passo 4

Como determinar o tamanho de amostra necessário para estimar p com uma margem de erro desejada E e nível de confiança 100(1-\alpha)\%.
  • Fórmula derivada da margem de erro do IC:
n=\frac{z_{\alpha/2}^2\,p^*(1-p^*)}{E^2},
onde p^* é um valor de referência para p (pode ser uma estimativa preliminar ou um palpite). Se não houver palpite confiável, usa-se o caso conservador p^*=0{,}5 (maximiza a variância e portanto dá o n maior).
  • Lembrete de arredondamento: sempre arredonde n para cima (tome o teto) para garantir que a margem de erro seja satisfeita.
Exemplo numérico típico (ilustrativo):
  • Deseja-se 95\% de confiança ( z_{0{,}025}=1{,}96) e margem de erro E=0{,}03 (ou seja 3\%). Sem palpite para p, usamos p^*=0{,}5.
  • Cálculo:
n=\frac{1{,}96^2\cdot0{,}5\cdot0{,}5}{0{,}03^2}=\frac{3{,}8416\cdot0{,}25}{0{,}0009}=\frac{0{,}9604}{0{,}0009}\approx1067{,}111\ldots
  • Arredondando para cima: n=1068.
    Interpretação: se o banco quiser estimar p com margem de erro 3 pontos percentuais e 95\% de confiança, sem informação prévia sobre p, ele deveria coletar cerca de 1068 observações.

Passo 5

Como fazer um teste de hipótese sobre p (passo a passo).
  • Exemplo de hipótese: testar H_0:\; p=p_0 contra H_1:\; p\neq p_0 (bilateral) ou H_1:\; p>p_0 / H_1:\; p<p_0 (unilaterais).
  • Teste aproximado (z-test) quando amostra é suficientemente grande:
Z=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}.
  • Rejeitar H_0 se |Z|>z_{\alpha/2} no teste bilateral (por exemplo, z_{0{,}025}=1{,}96 para \alpha=0{,}05).
  • Alternativamente, calcular o p-valor a partir de Z e comparar com \alpha.
Exemplo ilustrativo (hipotético):
  • Suponha n=200, x=50 ( \hat p=0{,}25), e quer testar H_0:p=0{,}20 contra H_1:p\neq0{,}20 com \alpha=0{,}05.
  • Estatística:
Z=\frac{0{,}25-0{,}20}{\sqrt{\dfrac{0{,}20\cdot0{,}80}{200}}}=\frac{0{,}05}{\sqrt{0{,}16/200}}=\frac{0{,}05}{\sqrt{0{,}0008}}\approx\frac{0{,}05}{0{,}028284}\approx1{,}768.
  • Valor-p bilateral \approx 2\cdot(1-\Phi(1{,}768))\approx0{,}077. Conclusão: com \alpha=0{,}05 não rejeita-se H_0.
    Obs.: sempre verifique as condições (np0 e n(1-p0) suficientes) antes de usar aproximação normal; caso contrário use teste exato binomial.

Passo 6

Condições de aplicabilidade e alternativas quando a amostra é pequena.
  • Aproximação normal válida se tanto n\hat p quanto n(1-\hat p) forem relativamente grandes (regra prática: \ge 10).
  • Se não, alternativas:
    • Para IC: usar intervalo exato de Clopper–Pearson (baseado na distribuição binomial).
    • Para teste: usar teste exato binomial (teste de hipótese baseado na binomial).
  • Em provas, se pedirem intervalo exato, mencionar que existe o método e descrever qualitativamente; se pedirem cálculo exato, geralmente fornecem tabela ou pedem procedimento.

Passo 7

Dicas práticas para a prova (checklist e apresentação)
  • Identifique claramente o que se pede: intervalo, teste ou tamanho de amostra.
  • Anote n e x (ou \hat p). Se pedirem tamanho de amostra, anote E e o nível de confiança.
  • Verifique condições de validade (np e n(1-p) ou use conservador 0{,}5).
  • Use as fórmulas:
    • \hat p=\dfrac{x}{n}.
    • IC: \hat p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
    • Tamanho: n=\dfrac{z_{\alpha/2}^2 p^*(1-p^*)}{E^2}.
    • Teste: Z=\dfrac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}.
  • Arredonde n para cima; para intervalos, reporte com pelo menos 3 casas decimais ou conforme pedido.
  • Se dúvidas sobre validade da aproximação, declare isso e proponha usar método exato.

Passo 8

Resumo-convite (ânimo)
  • Em resumo: o enunciado descreve o contexto e qual p se quer estimar, mas não diz qual cálculo realizar nem fornece números ou requisitos (nível de confiança, margem etc.). Eu já te mostrei todas as fórmulas e passos que normalmente caem em prova, com exemplos ilustrativos. Se você quiser, eu já resolvo um caso concreto: envie apenas o que se pede (IC/teste/tamanho de amostra) e os dados ou parâmetros ( n, x, nível de confiança, E, ou p_0) que eu uso e retorno a conta passo a passo — fica tranquilo, eu te ajudo linha a linha.

Resposta

Não é possível fornecer um resultado numérico porque o enunciado não especifica o que se pede (por exemplo: construir intervalo de confiança, testar hipótese ou determinar tamanho de amostra) nem fornece valores ou requisitos necessários (por exemplo n, x, nível de confiança ou margem de erro).

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