Um determinado banco deseja ter informação sobre o tempo de utilização de seus caixas eletrônicos pelos clientes, em determinada região, nos fins de semana. Mais especificamente, deseja estimar a proporção p de usuários dessa região, que demoram 2 minutos ou mais para realizarem suas operações. Uma amostra aleatória de clientes que utilizam caixas eletrônicos em fins de semana nessa região será coletada, e o tempo de utilização de cada um será registrado.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- O objetivo do banco é estimar a proporção
de usuários, numa determinada região e nos fins de semana, que demoram 2 minutos ou mais para realizar operações em caixas eletrônicos. - Será coletada uma amostra aleatória de clientes que utilizam caixas eletrônicos nos fins de semana e será registrado o tempo de utilização de cada um.
O que o enunciado NÃO diz (informações que fariam falta para dar uma resposta numérica direta):
- Não está explícito o que exatamente se pede: construir um intervalo de confiança para
? testar uma hipótese sobre ? determinar o tamanho da amostra necessário para estimar com certa precisão? - Não foram fornecidos dados numéricos da amostra (por exemplo
e , onde é o número de clientes com tempo minutos). - Não foi dado nível de confiança (por exemplo
) nem margem de erro desejada (por exemplo ) quando o pedido é dimensionar amostra ou construir intervalo.
Conclusão do passo: com o enunciado como está, não há como calcular um valor final numérico. Abaixo eu explico, passo a passo e com didática, as possíveis coisas que usualmente se pede e como resolvê-las na prova — fórmulas, interpretação e exemplos ilustrativos.
Passo 2
O que é a proporção
e como a estimamos na prática.
- Definição:
é a proporção verdadeira da população (naquela região, fins de semana) de usuários que demoram pelo menos 2 minutos. - Na amostra, se o tamanho da amostra for
e o número de usuários com tempo min for , a estimativa amostral (estimador pontual) é a proporção amostral
Explicando:
é simplesmente a fração da amostra que satisfaz a condição; por exemplo, se entre
clientes
demoraram
min, então
.
Passo 3
Como construir um intervalo de confiança (IC) para
— fórmula, significado e passo a passo.
- Situação clássica: queremos um IC de nível
(ex.: , , ). - Fórmula (aproximação normal, válida quando a amostra é grande o suficiente):
Explanação das letras:
-
é a proporção amostral (definida no passo anterior). -
é o quantil da distribuição normal padrão: por exemplo para de confiança; para ; para . - A expressão
é o erro padrão da proporção. - Interpretação: com esse IC, se o procedimento for repetido muitas vezes, cerca de
dos intervalos construídos conterão o verdadeiro .
Condição de validade da aproximação normal:
- Em geral, usar a aproximação normal quando
e . Se não for satisfeito, usar intervalos exatos (Clopper–Pearson) ou métodos de correção.
Exemplo ilustrativo (apenas para mostrar cálculo):
- Suponha hipoteticamente
e (logo ), e nível de confiança ( ). - Erro padrão:
- Margem de erro:
- IC:
.
Nota: esse é um exemplo ilustrativo; não use esses números como resposta ao enunciado porque os valorese não foram informados.
Passo 4
Como determinar o tamanho de amostra necessário para estimar
com uma margem de erro desejada
e nível de confiança
.
- Fórmula derivada da margem de erro do IC:
onde
é um valor de referência para
(pode ser uma estimativa preliminar ou um palpite). Se não houver palpite confiável, usa-se o caso conservador
(maximiza a variância e portanto dá o
maior).
- Lembrete de arredondamento: sempre arredonde
para cima (tome o teto) para garantir que a margem de erro seja satisfeita.
Exemplo numérico típico (ilustrativo):
- Deseja-se
de confiança ( ) e margem de erro (ou seja ). Sem palpite para , usamos . - Cálculo:
- Arredondando para cima:
.
Interpretação: se o banco quiser estimarcom margem de erro pontos percentuais e de confiança, sem informação prévia sobre , ele deveria coletar cerca de observações.
Passo 5
Como fazer um teste de hipótese sobre
(passo a passo).
- Exemplo de hipótese: testar
contra (bilateral) ou / (unilaterais). - Teste aproximado (z-test) quando amostra é suficientemente grande:
- Rejeitar
se no teste bilateral (por exemplo, para ). - Alternativamente, calcular o p-valor a partir de
e comparar com .
Exemplo ilustrativo (hipotético):
- Suponha
, ( ), e quer testar contra com . - Estatística:
- Valor-p bilateral
. Conclusão: com não rejeita-se .
Obs.: sempre verifique as condições (np0 e n(1-p0) suficientes) antes de usar aproximação normal; caso contrário use teste exato binomial.
Passo 6
Condições de aplicabilidade e alternativas quando a amostra é pequena.
- Aproximação normal válida se tanto
quanto forem relativamente grandes (regra prática: ). - Se não, alternativas:
- Para IC: usar intervalo exato de Clopper–Pearson (baseado na distribuição binomial).
- Para teste: usar teste exato binomial (teste de hipótese baseado na binomial).
- Em provas, se pedirem intervalo exato, mencionar que existe o método e descrever qualitativamente; se pedirem cálculo exato, geralmente fornecem tabela ou pedem procedimento.
Passo 7
Dicas práticas para a prova (checklist e apresentação)
- Identifique claramente o que se pede: intervalo, teste ou tamanho de amostra.
- Anote
e (ou ). Se pedirem tamanho de amostra, anote e o nível de confiança. - Verifique condições de validade (np e n(1-p) ou use conservador 0{,}5).
- Use as fórmulas:
-
. - IC:
. - Tamanho:
. - Teste:
.
-
- Arredonde
para cima; para intervalos, reporte com pelo menos 3 casas decimais ou conforme pedido. - Se dúvidas sobre validade da aproximação, declare isso e proponha usar método exato.
Passo 8
Resumo-convite (ânimo)
- Em resumo: o enunciado descreve o contexto e qual
se quer estimar, mas não diz qual cálculo realizar nem fornece números ou requisitos (nível de confiança, margem etc.). Eu já te mostrei todas as fórmulas e passos que normalmente caem em prova, com exemplos ilustrativos. Se você quiser, eu já resolvo um caso concreto: envie apenas o que se pede (IC/teste/tamanho de amostra) e os dados ou parâmetros ( , , nível de confiança, , ou ) que eu uso e retorno a conta passo a passo — fica tranquilo, eu te ajudo linha a linha.
Resposta
Não é possível fornecer um resultado numérico porque o enunciado não especifica o que se pede (por exemplo: construir intervalo de confiança, testar hipótese ou determinar tamanho de amostra) nem fornece valores ou requisitos necessários (por exemplo
,
, nível de confiança ou margem de erro).