Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma série de operações seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que o tempo necessário para completar o teste seja distribuído de acordo com uma Normal de média 85 minutos e desvio padrão 15 minutos.
Qual o percentual de candidatos com tempo entre 76 e 80 minutos?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual o percentual de candidatos com tempo entre 76 e 80 minutos?”
Informações dadas:
  • O tempo necessário para completar o teste segue uma distribuição Normal com média \mu=85 minutos e desvio padrão \sigma=15 minutos.
  • Queremos a porcentagem de candidatos com tempo entre 76 e 80 minutos, ou seja, calcular P(76 \le X \le 80).

Passo 2

Estratégia: transformar a variável X (Normal com média \mu e desvio \sigma) em uma variável padrão Z (Normal padrão com média 0 e desvio 1). A fórmula de padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é o tempo em minutos,
  • \mu é a média ( 85),
  • \sigma é o desvio padrão ( 15).
    Após padronizar os extremos, usamos a função de distribuição acumulada da Normal padrão, \Phi(\cdot), para obter probabilidades.

Passo 3

Aplicar a padronização aos limites 76 e 80:
\frac{76-85}{15}=\frac{-9}{15}=-0,6, \qquad \frac{80-85}{15}=\frac{-5}{15}=-\tfrac{1}{3}\approx-0,333\ldots
Logo
P(76\le X\le 80)=P\!\left(-0,6\le Z\le -\tfrac{1}{3}\right).

Passo 4

Usar a simetria da Normal padrão para trabalhar com valores positivos (mais fácil consultar tabela):
P\!\left(-0,6\le Z\le -\tfrac{1}{3}\right)=\Phi\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)-\Phi(-0,6).
Pela simetria, \Phi(-a)=1-\Phi(a). Substituindo:
\Phi\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)-\Phi(-0,6) = \big(1-\Phi(0,333\ldots)\big) - \big(1-\Phi(0,6)\big) = \Phi(0,6)-\Phi(0,333\ldots).

Passo 5

Consultar os valores da tabela da Normal padrão (ou calculadora estatística):
  • \Phi(0,6)=0,7257 (valor padrão da tabela).
  • Para \Phi(0,333\ldots) interpola-se entre \Phi(0,33)=0,6293 e \Phi(0,34)=0,6331. Aproximando,
    \Phi(0,333\ldots)\approx0,6306.

Passo 6

Calcular a diferença:
\Phi(0,6)-\Phi(0,333\ldots)\approx 0,7257-0,6306=0,0951.
Interpretando em percentual:
0,0951=9,51\%.

Passo 7

Conclusão interpretativa rápida e incentivo: aproximadamente 9,5\% dos candidatos completam o teste entre 76 e 80 minutos. Isso significa que é uma faixa relativamente rara dada a média 85 min e desvio 15 min — bons motivos para treinar a rapidez! Você está indo bem; continue praticando esse tipo de padronização que cai muito em prova.

Resposta

9,51\%

Exercícios relacionados