Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma série de operações seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que o tempo necessário para completar o teste seja distribuído de acordo com uma Normal de média 85 minutos e desvio padrão 15 minutos.
Se os 4% melhores candidatos serão alocados para aeronaves maiores, quão rápido deve ser o candidato para que obtenha essa posição?
Se os 4% melhores candidatos serão alocados para aeronaves maiores, quão rápido deve ser o candidato para que obtenha essa posição?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- O tempo necessário para completar o teste segue uma distribuição Normal com média
minutos e desvio padrão minutos. - Os
melhores candidatos serão alocados para aeronaves maiores. - Pergunta: qual é o tempo máximo (ou seja, quão rápido deve ser o candidato) para ficar entre esses
melhores?
Observação importante (apenas para deixar claro o que “melhor” significa aqui): como o teste mede tempo para completar algo, ser “melhor” significa ser mais rápido, isto é, ter um tempo menor. Portanto estamos procurando o valor de tempo
tal que
dos candidatos têm tempo menor ou igual a
; em outras palavras, o
-percentil da distribuição dos tempos.
Passo 2
Vamos traduzir a pergunta para uma propriedade da distribuição Normal que precisamos usar.
- Queremos encontrar
tal que
- Para trabalhar com a Normal padrão (média
, desvio ) usamos a padronização. A fórmula de padronização é
onde:
-
é a variável original (tempo em minutos), -
é a média ( ), -
é o desvio padrão ( ), -
é a variável Normal padrão correspondente.
Padronizando
obtemos
Portanto queremos o valor
tal que
, e então voltamos para
por
Passo 3
Agora precisamos achar o quantil
da Normal padrão tal que
. Isso é o valor
, onde
é a função de distribuição acumulada da Normal padrão.
- Como
, esse será negativo (áreas à esquerda da média). - Procurando numa tabela da Normal padrão ou usando uma função inversa, encontra-se que o valor aproximado é
pois a tabela dá
, muito próximo de
. (Se usar calculadora com precisão maior, obtém-se um
ligeiramente diferente, mas -1,75 é um valor prático e comum em provas.)
Passo 4
Agora voltamos para a escala dos tempos usando
.
- Substituindo
, e :
- Calcule passo a passo:
-
. -
e , então . - Logo
. - Portanto
minutos.
-
Passo 5
Interpretando o resultado:
- O valor
minutos significa minutos, que em minutos e segundos é minutos e segundos, ou seja, minutos e segundos. - Conclusão prática: para estar entre os
mais rápidos (ser alocado para aeronaves maiores), o candidato deve completar o teste em no máximo aproximadamente minutos e segundos.
Força aí — é um tempo bem curto, mas agora você sabe como calcular qualquer percentil para uma Normal usando padronização e tabela/inversa!