Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma série de operações seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que o tempo necessário para completar o teste seja distribuído de acordo com uma Normal de média 85 minutos e desvio padrão 15 minutos.
Se os 4% melhores candidatos serão alocados para aeronaves maiores, quão rápido deve ser o candidato para que obtenha essa posição?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • O tempo necessário para completar o teste segue uma distribuição Normal com média \mu=85 minutos e desvio padrão \sigma=15 minutos.
  • Os 4\% melhores candidatos serão alocados para aeronaves maiores.
  • Pergunta: qual é o tempo máximo (ou seja, quão rápido deve ser o candidato) para ficar entre esses 4\% melhores?
Observação importante (apenas para deixar claro o que “melhor” significa aqui): como o teste mede tempo para completar algo, ser “melhor” significa ser mais rápido, isto é, ter um tempo menor. Portanto estamos procurando o valor de tempo x tal que 4\% dos candidatos têm tempo menor ou igual a x; em outras palavras, o 4\%-percentil da distribuição dos tempos.

Passo 2

Vamos traduzir a pergunta para uma propriedade da distribuição Normal que precisamos usar.
  • Queremos encontrar x tal que
P(X \le x)=0{,}04.
  • Para trabalhar com a Normal padrão (média 0, desvio 1) usamos a padronização. A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original (tempo em minutos),
  • \mu é a média ( \mu=85),
  • \sigma é o desvio padrão ( \sigma=15),
  • Z é a variável Normal padrão correspondente.
Padronizando x obtemos
P(X \le x) = P\!\left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{x-\mu}{\sigma} \right) = P\!\left( Z \le \frac{x-\mu}{\sigma} \right).
Portanto queremos o valor z tal que P(Z \le z)=0{,}04, e então voltamos para x por
x=\mu+z\sigma.

Passo 3

Agora precisamos achar o quantil z da Normal padrão tal que P(Z\le z)=0{,}04. Isso é o valor z=\Phi^{-1}(0{,}04), onde \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão.
  • Como 0{,}04<0{,}5, esse z será negativo (áreas à esquerda da média).
  • Procurando numa tabela da Normal padrão ou usando uma função inversa, encontra-se que o valor aproximado é
z\approx -1{,}75,
pois a tabela dá P(Z\le -1{,}75)\approx 0{,}0401, muito próximo de 0{,}04. (Se usar calculadora com precisão maior, obtém-se um z ligeiramente diferente, mas -1,75 é um valor prático e comum em provas.)

Passo 4

Agora voltamos para a escala dos tempos usando x=\mu+z\sigma.
  • Substituindo \mu=85, \sigma=15 e z=-1{,}75:
x = 85 + (-1{,}75)\cdot 15.
  • Calcule passo a passo:
    • (-1{,}75)\cdot 15 = -1{,}75\times 15 = -(1{,}75\times 15).
    • 1{,}75\times 10 = 17{,}5 e 1{,}75\times 5 = 8{,}75, então 1{,}75\times 15 = 17{,}5+8{,}75 = 26{,}25.
    • Logo (-1{,}75)\cdot 15 = -26{,}25.
    • Portanto x = 85 - 26{,}25 = 58{,}75 minutos.

Passo 5

Interpretando o resultado:
  • O valor x=58{,}75 minutos significa 58{,}75 minutos, que em minutos e segundos é 58 minutos e 0{,}75\times 60 = 45 segundos, ou seja, 58 minutos e 45 segundos.
  • Conclusão prática: para estar entre os 4\% mais rápidos (ser alocado para aeronaves maiores), o candidato deve completar o teste em no máximo aproximadamente 58 minutos e 45 segundos.
Força aí — é um tempo bem curto, mas agora você sabe como calcular qualquer percentil para uma Normal usando padronização e tabela/inversa!

Resposta

58{,}75\\ \text{minutos} \;(\text{aprox. }58\\ \text{min }45\\ \text{s})

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