Um determinado banco oferece, para uma aplicação, uma taxa de juros de
, ao mês, de remuneração. Considerando
o valor total desta aplicação em um determinado mês, determine este valor para
meses considerando que o aplicador depositou inicialmente
5.000,00
\mathrm{d}=\mathrm{R} $1.200,00$ por mês. Determine o Saldo total após 10 meses de aplicação.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o saldo total após
meses:
- Taxa de remuneração mensal:
por mês. - Depósito inicial (capital aplicado no tempo zero):
. - Depósito periódico mensal (cada mês):
. - Número de meses (períodos):
.
O que se pede: calcular
para
meses, ou seja, o saldo acumulado após
depósitos mensais e o rendimento composto à taxa mensal de
.
Passo 2
Conceito e fórmula usada (explicação didática): quando há um capital inicial que rende juros compostos e, além disso, há depósitos iguais feitos periodicamente (no fim de cada período — caso mais comum, chamado de anuidade imediata), o saldo acumulado após
períodos é a soma de duas partes:
- o capital inicial acumulado pelos juros compostos;
- a acumulação das parcelas depositadas mês a mês, cada uma também rendendo juros desde o depósito até o final.
A fórmula resultante é
onde:
-
é o saldo após períodos, -
é o capital inicial, -
é o depósito periódico (feitos ao final de cada período), -
é a taxa de juros por período (aqui ), -
é o número de períodos.
Por que essa fórmula? Breve derivaçao intuitiva:
- O termo
vem de aplicar juros compostos ao capital inicial por períodos. - Cada depósito
feito no final do período (com ) fica investido por períodos até o final. Somando a acumulação de todas as parcelas obtém-se a soma geométrica que resulta em . (Não precisa decorar cegamente: é um somatório geométrico.)
Passo 3
Aplicando os dados à fórmula: substituímos
,
,
,
:
Antes de calcular, vamos encontrar
passo a passo (isto ajuda a ver como fazer sem calculadora com aproximações e também evita pular etapas).
Passo 4
Cálculo de
(multiplicações sucessivas):
Portanto usaremos
.
Passo 5
Calcular a contribuição do capital inicial:
Arredondando centavos:
.
Passo 6
Calcular a contribuição dos depósitos mensais (anuidade):
Primeiro o numerador da fração:
Primeiro o numerador da fração:
Dividindo por
:
Multiplicando por
:
Arredondando centavos:
.
Passo 7
Somando as duas partes para obter o saldo total:
Arredondando para centavos (duas casas decimais):
.
Passo 8
Interpretação rápida e dica para prova: a fórmula é prática — memorize a forma
pois em muitas questões de prova os números mudam, mas o método é sempre o mesmo: acumular o capital inicial e acumular cada parcela via somatório geométrico. Se os depósitos fossem no início de cada período (anuidade antecipada), teria que multiplicar a parcela por
adicionalmente.