Um determinado banco oferece, para uma aplicação, uma taxa de juros de \mathrm{j}=6 \%, ao mês, de remuneração. Considerando \mathrm{P}(\mathrm{t}) o valor total desta aplicação em um determinado mês, determine este valor para \mathrm{t}=10 meses considerando que o aplicador depositou inicialmente \mathrm{P}_{0}=\mathrm{R} \ 5.000,00 e deposita mensalmente\mathrm{d}=\mathrm{R} $1.200,00$ por mês. Determine o Saldo total após 10 meses de aplicação.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o saldo total após 10 meses:
  • Taxa de remuneração mensal: \,j=6\% = 0{,}06 por mês.
  • Depósito inicial (capital aplicado no tempo zero): \,P_0=\mathrm{R}\$\,5.000{,}00.
  • Depósito periódico mensal (cada mês): \,d=\mathrm{R}\$\,1.200{,}00.
  • Número de meses (períodos): \,n=10.
O que se pede: calcular \mathrm{P}(t) para t=10 meses, ou seja, o saldo acumulado após 10 depósitos mensais e o rendimento composto à taxa mensal de 6\%.

Passo 2

Conceito e fórmula usada (explicação didática): quando há um capital inicial que rende juros compostos e, além disso, há depósitos iguais feitos periodicamente (no fim de cada período — caso mais comum, chamado de anuidade imediata), o saldo acumulado após n períodos é a soma de duas partes:
  1. o capital inicial acumulado pelos juros compostos;
  2. a acumulação das parcelas depositadas mês a mês, cada uma também rendendo juros desde o depósito até o final.
A fórmula resultante é
\mathrm{P}_n = P_0(1+i)^n + d\cdot\frac{(1+i)^n-1}{i},
onde:
  • \mathrm{P}_n é o saldo após n períodos,
  • P_0 é o capital inicial,
  • d é o depósito periódico (feitos ao final de cada período),
  • i é a taxa de juros por período (aqui i=j),
  • n é o número de períodos.
Por que essa fórmula? Breve derivaçao intuitiva:
  • O termo P_0(1+i)^n vem de aplicar juros compostos ao capital inicial por n períodos.
  • Cada depósito d feito no final do período k (com k=1,2,\dots,n) fica investido por n-k períodos até o final. Somando a acumulação de todas as parcelas obtém-se a soma geométrica que resulta em d\,( (1+i)^n-1)/i. (Não precisa decorar cegamente: é um somatório geométrico.)

Passo 3

Aplicando os dados à fórmula: substituímos i=0{,}06, P_0=5000, d=1200, n=10:
\mathrm{P}_{10} = 5000(1{,}06)^{10} + 1200\cdot\frac{(1{,}06)^{10}-1}{0{,}06}.
Antes de calcular, vamos encontrar (1{,}06)^{10} passo a passo (isto ajuda a ver como fazer sem calculadora com aproximações e também evita pular etapas).

Passo 4

Cálculo de (1{,}06)^{10} (multiplicações sucessivas):
\begin{aligned} (1{,}06)^1 &= 1{,}06,\\\ (1{,}06)^2 &= 1{,}1236,\\\ (1{,}06)^3 &= 1{,}191016,\\\ (1{,}06)^4 &= 1{,}26247696,\\\ (1{,}06)^5 &= 1{,}3382255776,\\\ (1{,}06)^6 &= 1{,}418519112256,\\\ (1{,}06)^7 &= 1{,}50363025899136,\\\ (1{,}06)^8 &= 1{,}5938480745308416,\\\ (1{,}06)^9 &= 1{,}6894789590026925,\\\ (1{,}06)^{10} &= 1{,}7908476965428535. \end{aligned}
Portanto usaremos (1{,}06)^{10}\approx 1{,}7908476965428535.

Passo 5

Calcular a contribuição do capital inicial:
5000(1{,}06)^{10}=5000\cdot 1{,}7908476965428535 \approx 8{,}954{,}238482714268.
Arredondando centavos: \approx \mathrm{R}\$\,8.954{,}24.

Passo 6

Calcular a contribuição dos depósitos mensais (anuidade):
Primeiro o numerador da fração:
(1{,}06)^{10}-1 \approx 1{,}7908476965428535 - 1 = 0{,}7908476965428535.
Dividindo por i=0{,}06:
\frac{(1{,}06)^{10}-1}{0{,}06} \approx \frac{0{,}7908476965428535}{0{,}06} \approx 13{,}180794942380892.
Multiplicando por d=1200:
1200\cdot 13{,}180794942380892 \approx 15{,}816{,}953930857070.
Arredondando centavos: \approx \mathrm{R}\$\,15.816{,}95.

Passo 7

Somando as duas partes para obter o saldo total:
\mathrm{P}_{10} \approx 8{,}954{,}238482714268 + 15{,}816{,}953930857070 \approx 24{,}771{,}192413571338.
Arredondando para centavos (duas casas decimais): \mathrm{R}\$\,24.771{,}19.

Passo 8

Interpretação rápida e dica para prova: a fórmula é prática — memorize a forma
\mathrm{P}_n = P_0(1+i)^n + d\cdot\frac{(1+i)^n-1}{i},
pois em muitas questões de prova os números mudam, mas o método é sempre o mesmo: acumular o capital inicial e acumular cada parcela via somatório geométrico. Se os depósitos fossem no início de cada período (anuidade antecipada), teria que multiplicar a parcela por (1+i) adicionalmente.

Resposta

\mathrm{R}\$\,24.771{,}19

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