Construa os gráficos das funções. Dê o seu domínio e imagem.
y=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função y=\dfrac{1}{x}:
  • Construir (desenhar) o gráfico da função.
  • Determinar o domínio e a imagem (conjunto de valores possíveis de x e de y).
Informações dadas:
  • A função é y=\dfrac{1}{x}. Não há outras informações numéricas fornecidas.

Passo 2

Determinar o domínio: lembrar que divisão por zero não é permitida. A expressão \dfrac{1}{x} está definida para todo x tal que x\neq0.
Portanto o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Explicação curta e direta: não posso escolher x=0 porque aí eu teria \dfrac{1}{0}, que não existe.

Passo 3

Fazer uma pequena tabela de valores para entender a forma do gráfico (escolher pontos fáceis e ver o comportamento):
\begin{array}{c|c} x & y=\dfrac{1}{x} \\\ \hline 1 & 1 \\\\ 2 & \dfrac{1}{2} \\\ \dfrac{1}{2} & 2 \\\\ -1 & -1 \\\\ -2 & -\dfrac{1}{2} \\\\ -\dfrac{1}{2} & -2 \end{array}
Interpretação intuitiva: para x>0 valores grandes de x dão y pequeno e positivo; para x<0 há o mesmo comportamento espelhado com sinais negativos. Esses pontos já mostram duas “ramificações” do gráfico: uma no quadrante I e outra no quadrante III.

Passo 4

Comportamento perto de x=0 (mostra que há uma assíntota vertical em x=0):
\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty, \qquad \lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty.
Isto significa que, ao aproximar x de 0 pela direita, y cresce sem limite; pela esquerda, y vai para -\infty. Logo a reta x=0 é uma assíntota vertical do gráfico.

Passo 5

Comportamento para x\to\pm\infty (mostra assíntota horizontal em y=0):
\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0, \qquad \lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0.
Assim as duas ramificações do gráfico se aproximam cada vez mais do eixo x quando |x| cresce. Portanto a reta y=0 (o próprio eixo x) é uma assíntota horizontal.

Passo 6

Simetria do gráfico (ajuda a desenhar): verificar paridade
f(x)=\dfrac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x).
Isso mostra que a função é ímpar: o gráfico é simétrico em relação à origem. Logo, se soubermos a ramificação no quadrante I, a do quadrante III é igual apenas espelhada pelo centro.

Passo 7

Monotonicidade e forma da curva (intuição para desenhar): para x>0 os valores de y decrescem quando x aumenta (por exemplo, y(0,5)=2 e y(2)=0{,}5). Para x<0 a mesma propriedade: quando x aumenta (mais perto de zero) y aumenta do ponto de vista numérico negativo (mas continua negativo). Uma explicação rápida usando cálculo (opcional): a derivada é
f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}<0\quad\text{para }x\neq0,
portanto a função é estritamente decrescente em cada intervalo (-\infty,0) e (0,+\infty).

Passo 8

Como desenhar à mão (passos práticos):
  1. Desenhar os eixos coordenados e marcar a assíntota vertical x=0 (eixo y) e a assíntota horizontal y=0 (eixo x).
  2. Plotar os pontos da tabela do Passo 3: (1,1), (2,\tfrac12), (\tfrac12,2), e os correspondentes negativos.
  3. Ligar suavemente os pontos na região x>0 formando uma curva que sobe muito quando x se aproxima de 0^+ e que tende para y=0 quando x\to+\infty.
  4. Fazer o mesmo, simetricamente, no lado x<0: uma curva no quadrante III que vai para -\infty ao aproximar 0^- e tende a 0 quando x\to-\infty.
  5. Não tocar nem cruzar as assíntotas; o gráfico nunca atinge x=0 nem y=0.
Dica amiga: desenhe leve as curvas, passe o lápis uma vez só mantendo a suavidade — é uma hipérbole com duas ramificações.

Passo 9

Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de y): resolver se existe x tal que \dfrac{1}{x}=0. Isso é impossível porque seria 1=0\cdot x=0, contradição. Assim y nunca vale 0. Para qualquer y não nulo existe x=\dfrac{1}{y} que produz esse y. Logo a imagem é
\{y\in\mathbb{R}\mid y\neq0\}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{0\}
Imagem: \mathbb{R}\setminus\{0\}

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