Construa os gráficos das funções. Dê o seu domínio e imagem.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Construir (desenhar) o gráfico da função.
- Determinar o domínio e a imagem (conjunto de valores possíveis de
e de ).
Informações dadas:
- A função é
. Não há outras informações numéricas fornecidas.
Passo 2
Determinar o domínio: lembrar que divisão por zero não é permitida. A expressão
está definida para todo
tal que
.
Portanto o domínio é
Explicação curta e direta: não posso escolher
porque aí eu teria
, que não existe.
Passo 3
Fazer uma pequena tabela de valores para entender a forma do gráfico (escolher pontos fáceis e ver o comportamento):
Interpretação intuitiva: para
valores grandes de
dão
pequeno e positivo; para
há o mesmo comportamento espelhado com sinais negativos. Esses pontos já mostram duas “ramificações” do gráfico: uma no quadrante I e outra no quadrante III.
Passo 4
Comportamento perto de
(mostra que há uma assíntota vertical em
):
Isto significa que, ao aproximar
de
pela direita,
cresce sem limite; pela esquerda,
vai para
. Logo a reta
é uma assíntota vertical do gráfico.
Passo 5
Comportamento para
(mostra assíntota horizontal em
):
Assim as duas ramificações do gráfico se aproximam cada vez mais do eixo
quando
cresce. Portanto a reta
(o próprio eixo
) é uma assíntota horizontal.
Passo 6
Simetria do gráfico (ajuda a desenhar): verificar paridade
Isso mostra que a função é ímpar: o gráfico é simétrico em relação à origem. Logo, se soubermos a ramificação no quadrante I, a do quadrante III é igual apenas espelhada pelo centro.
Passo 7
Monotonicidade e forma da curva (intuição para desenhar): para
os valores de
decrescem quando
aumenta (por exemplo,
e
). Para
a mesma propriedade: quando
aumenta (mais perto de zero)
aumenta do ponto de vista numérico negativo (mas continua negativo). Uma explicação rápida usando cálculo (opcional): a derivada é
portanto a função é estritamente decrescente em cada intervalo
e
.
Passo 8
Como desenhar à mão (passos práticos):
- Desenhar os eixos coordenados e marcar a assíntota vertical
(eixo ) e a assíntota horizontal (eixo ). - Plotar os pontos da tabela do Passo 3:
, , , e os correspondentes negativos. - Ligar suavemente os pontos na região
formando uma curva que sobe muito quando se aproxima de e que tende para quando . - Fazer o mesmo, simetricamente, no lado
: uma curva no quadrante III que vai para ao aproximar e tende a quando . - Não tocar nem cruzar as assíntotas; o gráfico nunca atinge
nem .
Dica amiga: desenhe leve as curvas, passe o lápis uma vez só mantendo a suavidade — é uma hipérbole com duas ramificações.
Passo 9
Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
): resolver se existe
tal que
. Isso é impossível porque seria
, contradição. Assim
nunca vale
. Para qualquer
não nulo existe
que produz esse
. Logo a imagem é
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: