Construa os gráficos das funções. Dê o seu domínio e imagem.
Passo 1
O enunciado pede que se construa o gráfico da função e que se dê o domínio e a imagem. A função fornecida é:
O que é pedido:
- Construir (esboçar) o gráfico de
. - Determinar o domínio da função.
- Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
).
Passo 2
Entender o que é valor absoluto e reescrever a função de forma prática. Lembre-se da definição:
Aplicando a definição com
Explicação didática: isto significa que a função é dada por duas retas diferentes, uma quando
e outra quando
está à esquerda de
. No ponto
ambas as expressões valem
, então o gráfico é contínuo e forma um “V” com vértice em
.]
Passo 3
Caracterização geométrica das duas peças (para saber como desenhar):
- Para
: . É uma reta com inclinação e intercepto no eixo igual a se prolongada, mas só usamos a parte a partir de . No ponto temos . - Para
: . É uma reta com inclinação . No ponto também dá . Assim o gráfico é duas semi-retas formando um “V” cujo vértice é .
Passo 4
Calcular alguns pontos úteis para desenhar à mão (sempre usando
):
Como desenhar: marque o vértice em
; para
desenhe a semi-reta com inclinação
passando por
; para
desenhe a semi-reta com inclinação
passando por
. Os pontos calculados servem de referência para a forma do “V”.]
Passo 5
Intercepções e simetrias (coisas úteis na prova):
- Interseção com o eixo
: solução de que é . Logo o único zero é . - Interseção com o eixo
: para temos , então o ponto . - Simetria: o gráfico é simétrico em relação à reta vertical
(porque ).
Passo 6
Determinar domínio e imagem, com justificativa:
- Domínio: a expressão
está definida para todo e o valor absoluto é definido para qualquer real. Logo o domínio é
- Imagem: por definição de valor absoluto,
para todo . O menor valor possível é , atingido em . Para qualquer número existe ou que produz esse . Portanto a imagem é o intervalo