Construa os gráficos das funções. Dê o seu domínio e imagem.
y=|x-2|

Passo 1

O enunciado pede que se construa o gráfico da função e que se dê o domínio e a imagem. A função fornecida é:
y = |x-2|.
O que é pedido:
  • Construir (esboçar) o gráfico de \,y=|x-2|\,.
  • Determinar o domínio da função.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de y).

Passo 2

Entender o que é valor absoluto e reescrever a função de forma prática. Lembre-se da definição:
|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u \ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u < 0. \end{cases}
Aplicando a definição com u=x-2\), obtemos a forma em duas peças da função: \[y = |x-2| = \begin{cases} x-2, & \text{se } x \ge 2,\\[4pt] 2-x, & \text{se } x < 2. \end{cases}
Explicação didática: isto significa que a função é dada por duas retas diferentes, uma quando x\] está à direita de \(2 e outra quando x está à esquerda de 2. No ponto x=2 ambas as expressões valem 0, então o gráfico é contínuo e forma um “V” com vértice em x=2.]

Passo 3

Caracterização geométrica das duas peças (para saber como desenhar):
  • Para x \ge 2: y = x-2. É uma reta com inclinação +1 e intercepto no eixo y igual a -2 se prolongada, mas só usamos a parte a partir de x=2. No ponto x=2 temos y=0.
  • Para x < 2: y = 2-x. É uma reta com inclinação -1. No ponto x=2 também dá y=0. Assim o gráfico é duas semi-retas formando um “V” cujo vértice é (2,0).

Passo 4

Calcular alguns pontos úteis para desenhar à mão (sempre usando \,y=|x-2|\,):
\begin{aligned} x=-1 &\Rightarrow y=|{-1}-2|=|{-3}|=3,\\[4pt] x=0 &\Rightarrow y=|0-2|=|{-2}|=2,\\[4pt] x=1 &\Rightarrow y=|1-2|=1,\\[4pt] x=2 &\Rightarrow y=|2-2|=0 \quad\text{(vértice)},\\[4pt] x=3 &\Rightarrow y=|3-2|=1,\\[4pt] x=4 &\Rightarrow y=|4-2|=2. \end{aligned}é
Como desenhar: marque o vértice em (2,0); para x>2 desenhe a semi-reta com inclinação +1 passando por (2,0); para x<2 desenhe a semi-reta com inclinação -1 passando por (2,0). Os pontos calculados servem de referência para a forma do “V”.]

Passo 5

Intercepções e simetrias (coisas úteis na prova):
  • Interseção com o eixo x: solução de |x-2|=0 que é x=2. Logo o único zero é (2,0).
  • Interseção com o eixo y: para x=0 temos y=2, então o ponto (0,2).
  • Simetria: o gráfico é simétrico em relação à reta vertical x=2 (porque |(2+h)-2|=|2-(2-h)|).

Passo 6

Determinar domínio e imagem, com justificativa:
  • Domínio: a expressão x-2 está definida para todo x\in\mathbb{R} e o valor absoluto é definido para qualquer real. Logo o domínio é
\mathbb{R}.
  • Imagem: por definição de valor absoluto, |x-2|\ge 0 para todo x. O menor valor possível é 0, atingido em x=2. Para qualquer número y>0 existe x=2+y ou x=2-y que produz esse y. Portanto a imagem é o intervalo
[0,\infty).

Resposta

\text{Domínio: }\mathbb{R}í
\text{Imagem: }[0,\infty)

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