- Um determinado bem sofre depreciação contínua de seu valor inicial à taxa de
ao ano. Determine quanto tempo será necessário para que o valor do bem atinja
do seu valor inicial.
- Um investidor deposita um certo capital em fundo de investimento que rende juros de
ao ano, compostos continuamente. O governo retém
do rendimento obtido, sob forma de impostos e o investidor deseja sacar suas economias quando o montante investido ultrapassar o dobro do montante inicial.
Passo 1
Vou listar claramente o que cada item pede e os dados fornecidos.
-
Item 10: um bem tem depreciação contínua à taxa de
ao ano. Pede-se o tempo necessário para o valor do bem atingir do valor inicial. - Dado: taxa de depreciação contínua
ao ano (ou seja, ). - Objetivo: encontrar
tal que o valor no tempo seja do valor inicial.
- Dado: taxa de depreciação contínua
-
Item 11: um investidor aplica um capital inicial num fundo que rende juros compostos continuamente a
ao ano. O governo retém do rendimento (impostos). O investidor deseja sacar quando o montante ultrapassar o dobro do montante inicial. - Dado: taxa nominal contínua
, imposto sobre rendimento . - Objetivo: determinar o tempo
para que o montante líquido seja maior que o dobro do capital inicial. - Observação importante (ambiguidade do enunciado): não está explícito se o imposto é aplicado continuamente sobre o rendimento (reduzindo a taxa efetiva contínua) ou se o imposto é descontado ao final sobre o rendimento total. Vou explicar as duas interpretações e adotar uma delas conforme a regra de escolher o método mais simples e usual para uma prova.
- Dado: taxa nominal contínua
Passo 2
Conceito e fórmula básica para processos contínuos (a ferramenta que vamos usar nos dois itens).
- Quando uma quantidade
cresce ou decai de forma proporcional ao valor atual com taxa contínua (positiva para crescimento, negativa para decaimento), a equação diferencial é
- A solução dessa equação, com condição inicial
, é a função exponencial contínua
- Explicando as letras:
-
é o valor no tempo . -
é o valor inicial (em ). -
é a taxa contínua (por exemplo, para ao ano; para depreciação usa-se ). -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
-
- Para resolver equações do tipo
isolamos aplicando logaritmo natural e usamos a propriedade
Passo 3
Aplicando a teoria ao item 10 (depreciação contínua).
- Modelagem: o valor
do bem satisfaz
onde
é o valor inicial e
é a taxa de depreciação contínua. No problema
.
- Condição pedida: queremos
. Substituindo:
- Podemos simplificar dividindo por
(presume-se ):
- Tomando logaritmo natural dos dois lados:
- Usando
obtemos
- Agora calcular numericamente. Primeiro
. Logo
- Arredondando de maneira sensata para duas casas decimais:
- Se preferir uma leitura em anos, meses e dias: a parte decimal
de ano corresponde a meses, ou seja aproximadamente meses e dias. Portanto cerca de anos, meses e dias.
Passo 4
Recapitulando o raciocínio do item 10 de forma didática e aplicada na prova.
- Ideia prática para a prova: ao ver "depreciação contínua a
", já escrever . Igualar ao alvo (aqui ), cancelar , aplicar ln e isolar . - Lembre-se: sinais importam — depreciação usa sinal negativo no expoente. Sempre verifique unidades (anos aqui).
Passo 5
Preparação para o item 11: modelos possíveis para imposto sobre rendimento e a forma mais simples de tratá‑lo.
- Sem imposto, montante bruto com capital
e taxa contínua é
- Duas interpretações plausíveis sobre o imposto de
sobre o rendimento:
A) Imposto reduz a taxa efetiva contínua (modelo simples): assume-se que, na prática, o investidor recebe apenasdo juro gerado continuamente, então a taxa líquida contínua é . Assim o montante líquido é B) Imposto é cobrado ao final sobre o rendimento total: o governo fica com do que foi ganho ; o investidor recebe - As duas fórmulas dão respostas diferentes. Em provas, muitas vezes usa-se o modelo (A) por ser o mais direto e porque “retém 30% do rendimento” pode ser interpretado como reduzindo a taxa efetiva. Pela regra de escolher o método mais básico e aplicável sem calculadora complicada eu vou adotar o modelo (A) como resposta principal, mas vou calcular também o resultado do modelo (B) para mostrar a diferença — isso ajuda a entender o efeito do imposto.
Passo 6
Resolver o item 11 pelo modelo (A) — imposto reduz a taxa efetiva continuamente (escolha principal).
- Dados:
, . Então a taxa líquida contínua é
- Montante líquido no tempo
:
- Condição para sacar:
. Dividindo por :
- Tomando ln:
- Calcule numericamente:
. Então
- Arredondando razoavelmente:
- Em anos e meses:
ano meses, isto é cerca de mês e dias. Então aproximadamente anos, mês e dias.
Passo 7
Para completar: resolver o item 11 pelo modelo (B) — imposto cobrado ao final sobre o rendimento (cálculo complementar).
- Pelo modelo (B):
- Queremos
. Dividindo por :
- Isolando
:
- Com
tem-se e
- Logo
- Calcule numericamente:
. Então
ou seja aproximadamente
anos.
- Observação: este resultado é menor que o do modelo (A) porque, neste modelo, o imposto é cobrado apenas sobre o ganho e deixado para o final; economicamente o efeito líquido é diferente. É por isso que é importante saber exatamente como o imposto incide.
Passo 8
Interpretação final e escolha para a resposta da prova.
- Como expliquei, há duas interpretações razoáveis; escolhi a interpretação (A) (imposto reduz a taxa líquida contínua) por ser a mais simples e direta para uma prova de cálculo/juros contínuos. Apresentei também o cálculo pelo modelo (B) para que se veja o efeito da interpretação alternativa.
- Portanto a resposta que vou apresentar oficialmente (modelo adotado) para o item 11 é
anos. Se o enunciado da prova pedisse explicitamente “imposto cobrado ao final”, então o valor correto seria anos (modelo B).
Resposta
-
-
(adotando imposto como redução contínua da taxa)