1. Um determinado bem sofre depreciação contínua de seu valor inicial à taxa de 5 \% ao ano. Determine quanto tempo será necessário para que o valor do bem atinja 1 / 3 do seu valor inicial.
  2. Um investidor deposita um certo capital em fundo de investimento que rende juros de 7 \% ao ano, compostos continuamente. O governo retém 30 \% do rendimento obtido, sob forma de impostos e o investidor deseja sacar suas economias quando o montante investido ultrapassar o dobro do montante inicial.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e os dados fornecidos.
  • Item 10: um bem tem depreciação contínua à taxa de 5\% ao ano. Pede-se o tempo necessário para o valor do bem atingir 1/3 do valor inicial.
    • Dado: taxa de depreciação contínua 5\% ao ano (ou seja, k=0{,}05\\ \text{ano}^{-1}).
    • Objetivo: encontrar t tal que o valor no tempo t seja 1/3 do valor inicial.
  • Item 11: um investidor aplica um capital inicial num fundo que rende juros compostos continuamente a 7\% ao ano. O governo retém 30\% do rendimento (impostos). O investidor deseja sacar quando o montante ultrapassar o dobro do montante inicial.
    • Dado: taxa nominal contínua r=0{,}07\\ \text{ano}^{-1}, imposto sobre rendimento \tau=30\%=0{,}30.
    • Objetivo: determinar o tempo t para que o montante líquido seja maior que o dobro do capital inicial.
    • Observação importante (ambiguidade do enunciado): não está explícito se o imposto é aplicado continuamente sobre o rendimento (reduzindo a taxa efetiva contínua) ou se o imposto é descontado ao final sobre o rendimento total. Vou explicar as duas interpretações e adotar uma delas conforme a regra de escolher o método mais simples e usual para uma prova.

Passo 2

Conceito e fórmula básica para processos contínuos (a ferramenta que vamos usar nos dois itens).
  • Quando uma quantidade X(t) cresce ou decai de forma proporcional ao valor atual com taxa contínua r (positiva para crescimento, negativa para decaimento), a equação diferencial é
\frac{dX}{dt}=rX.
  • A solução dessa equação, com condição inicial X(0)=X_0, é a função exponencial contínua
X(t)=X_0 e^{r t}.
  • Explicando as letras:
    • X(t) é o valor no tempo t.
    • X_0 é o valor inicial (em t=0).
    • r é a taxa contínua (por exemplo, r=0{,}07 para 7\% ao ano; para depreciação usa-se r=-k).
    • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2{,}71828\ldots).
  • Para resolver equações do tipo X_0 e^{r t}= \text{valor pedido} isolamos t aplicando logaritmo natural e usamos a propriedade
\ln\bigl(e^{y}\bigr)=y.

Passo 3

Aplicando a teoria ao item 10 (depreciação contínua).
  • Modelagem: o valor V(t) do bem satisfaz
V(t)=V_0 e^{-k t},
onde V_0 é o valor inicial e k é a taxa de depreciação contínua. No problema k=0{,}05.
  • Condição pedida: queremos V(t)=\dfrac{V_0}{3}. Substituindo:
V_0 e^{-0{,}05 t}=\frac{V_0}{3}.
  • Podemos simplificar dividindo por V_0 (presume-se V_0>0):
e^{-0{,}05 t}=\frac{1}{3}.
  • Tomando logaritmo natural dos dois lados:
-0{,}05\,t=\ln\!\left(\frac{1}{3}\right).
  • Usando \ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\ln 3 obtemos
t=\frac{\ln 3}{0{,}05}.
  • Agora calcular numericamente. Primeiro \ln 3\approx1{,}0986122886681098. Logo
t\approx\frac{1{,}0986122886681098}{0{,}05}=21{,}972245773362196\\ \text{anos}.
  • Arredondando de maneira sensata para duas casas decimais:
t\approx21{,}97\\ \text{anos}.
  • Se preferir uma leitura em anos, meses e dias: a parte decimal 0{,}972245773362196 de ano corresponde a 0{,}972245773362196\times 12\approx11{,}67 meses, ou seja aproximadamente 11 meses e 20 dias. Portanto cerca de 21 anos, 11 meses e 20 dias.

Passo 4

Recapitulando o raciocínio do item 10 de forma didática e aplicada na prova.
  • Ideia prática para a prova: ao ver "depreciação contínua a 5\%", já escrever V(t)=V_0 e^{-0{,}05 t}. Igualar ao alvo (aqui V_0/3), cancelar V_0, aplicar ln e isolar t.
  • Lembre-se: sinais importam — depreciação usa sinal negativo no expoente. Sempre verifique unidades (anos aqui).

Passo 5

Preparação para o item 11: modelos possíveis para imposto sobre rendimento e a forma mais simples de tratá‑lo.
  • Sem imposto, montante bruto com capital P e taxa contínua r é
A_{\text{bruto}}(t)=P e^{r t}.
  • Duas interpretações plausíveis sobre o imposto de 30\% sobre o rendimento:
    A) Imposto reduz a taxa efetiva contínua (modelo simples): assume-se que, na prática, o investidor recebe apenas 1-\tau do juro gerado continuamente, então a taxa líquida contínua é r_{\text{líq}}=r(1-\tau)í. Assim o montante líquido é A_{\text{líq}}(t)=P e^{r_{\text{líq}} t}.ííB) Imposto é cobrado ao final sobre o rendimento total: o governo fica com \tau do que foi ganho A_{\text{bruto}}(t)-P; o investidor recebe A_{\text{líq}}(t)=P+(1-\tau)\bigl(A_{\text{bruto}}(t)-P\bigr) =P+\bigl(1-\tau\bigr)\bigl(Pe^{r t}-P\bigr).í
  • As duas fórmulas dão respostas diferentes. Em provas, muitas vezes usa-se o modelo (A) por ser o mais direto e porque “retém 30% do rendimento” pode ser interpretado como reduzindo a taxa efetiva. Pela regra de escolher o método mais básico e aplicável sem calculadora complicada eu vou adotar o modelo (A) como resposta principal, mas vou calcular também o resultado do modelo (B) para mostrar a diferença — isso ajuda a entender o efeito do imposto.

Passo 6

Resolver o item 11 pelo modelo (A) — imposto reduz a taxa efetiva continuamente (escolha principal).
  • Dados: r=0{,}07, \tau=0{,}30. Então a taxa líquida contínua é
r_{\text{líq}}=r(1-\tau)=0{,}07\times(1-0{,}30)=0{,}07\times 0{,}70=0{,}049.í
  • Montante líquido no tempo t:
A_{\text{líq}}(t)=P e^{0{,}049 t}.í
  • Condição para sacar: A_{\text{líq}}(t)\ge 2Pí. Dividindo por P:
e^{0{,}049 t}\ge 2.
  • Tomando ln:
0{,}049 t \ge \ln 2\quad\Longrightarrow\quad t \ge \frac{\ln 2}{0{,}049}.
  • Calcule numericamente: \ln 2\approx0{,}6931471805599453. Então
t\approx\frac{0{,}6931471805599453}{0{,}049}\approx14{,}1458575\\ \text{anos}.
  • Arredondando razoavelmente:
t\approx14{,}15\\ \text{anos}.
  • Em anos e meses: 0{,}1458575 ano \approx1{,}75 meses, isto é cerca de 1 mês e 22 dias. Então aproximadamente 14 anos, 1 mês e 22 dias.

Passo 7

Para completar: resolver o item 11 pelo modelo (B) — imposto cobrado ao final sobre o rendimento (cálculo complementar).
  • Pelo modelo (B):
A_{\text{líq}}(t)=P+\bigl(1-\tau\bigr)\bigl(Pe^{r t}-P\bigr)=P\Bigl[1+(1-\tau)\bigl(e^{r t}-1\bigr)\Bigr].í
  • Queremos A_{\text{líq}}(t)\ge 2Pí. Dividindo por P:
1+(1-\tau)\bigl(e^{r t}-1\bigr)\ge 2.
  • Isolando e^{r t}:
(1-\tau)\bigl(e^{r t}-1\bigr)\ge 1 \quad\Rightarrow\quad e^{r t}-1\ge\frac{1}{1-\tau} \quad\Rightarrow\quad e^{r t}\ge 1+\frac{1}{1-\tau}.
  • Com \tau=0{,}30 tem-se 1-\tau=0{,}70 e
1+\frac{1}{0{,}70}=1+\frac{10}{7}=\frac{17}{7}\approx2{,}4285714286.
  • Logo
e^{0{,}07 t}\ge\frac{17}{7}\quad\Rightarrow\quad t\ge\frac{\ln\!\left(\dfrac{17}{7}\right)}{0{,}07}.
  • Calcule numericamente: \ln\!\left(\dfrac{17}{7}\right)\approx0{,}887303195. Então
t\approx\frac{0{,}887303195}{0{,}07}\approx12{,}675760\\ \text{anos},
ou seja aproximadamente 12{,}68 anos.
  • Observação: este resultado é menor que o do modelo (A) porque, neste modelo, o imposto é cobrado apenas sobre o ganho e deixado para o final; economicamente o efeito líquido é diferente. É por isso que é importante saber exatamente como o imposto incide.

Passo 8

Interpretação final e escolha para a resposta da prova.
  • Como expliquei, há duas interpretações razoáveis; escolhi a interpretação (A) (imposto reduz a taxa líquida contínua) por ser a mais simples e direta para uma prova de cálculo/juros contínuos. Apresentei também o cálculo pelo modelo (B) para que se veja o efeito da interpretação alternativa.
  • Portanto a resposta que vou apresentar oficialmente (modelo adotado) para o item 11 é t\approx14{,}15 anos. Se o enunciado da prova pedisse explicitamente “imposto cobrado ao final”, então o valor correto seria t\approx12{,}68 anos (modelo B).

Resposta

  1. \,t=\dfrac{\ln 3}{0{,}05}\approx21{,}97\\ \text{anos}
  2. (adotando imposto como redução contínua da taxa) \,t=\dfrac{\ln 2}{0{,}049}\approx14{,}15\\ \text{anos}

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