Desenhe as superfícies no computador e identifique-as.
Passo 1
O enunciado pede: “Desenhe as superfícies no computador e identifique-as.” A informação dada é a equação
Informações relevantes do enunciado/imagem que foram fornecidas:
- Há um sistema de eixos tridimensional com eixos
, , . - A equação não envolve
.
As perguntas implícitas que devo responder são: - Que superfície do espaço tridimensional é representada por
? - Como desenhá-la no computador (como parâmetro / instrução de plot)?
Passo 2
Transformar a equação para ver sua forma padrão no plano
. Dividindo ambos os lados por
obtemos
Aqui explico o que isso significa: uma equação do tipo
é a equação canônica de uma elipse no plano
, com semi-eixo em
igual a
e semi-eixo em
igual a
. Comparando, temos
e
. Logo, a curva no plano
é a elipse com interseções em
e
:
Passo 3
Explicar por que a superfície é um cilindro elíptico. Observação chave: a equação não contém
. Isso significa que se
satisfazem a equação, então qualquer ponto
com qualquer valor de
também satisfaz. Geometricamente, a elipse do plano
é “esticada” em todas as direções do eixo
. O nome padrão para essa superfície é cilindro elíptico (ou cilindro cujo geratriz é paralela ao eixo
).
Passo 4
Apresentar uma parametrização útil para desenhar no computador. Uma parametrização natural da elipse é usar um parâmetro angular
para a elipse e um parâmetro
para a direção do eixo
:
com
e
. Explicação didática: quando
varia de
a
a dupla
percorre a elipse no plano
; para cada ponto da elipse, deixar
variar percorre a geratriz vertical, produzindo o cilindro.
Passo 5
Traços (fatiamentos) que ajudam a visualizar e a desenhar manualmente:
- Traço no plano
(qualquer constante): é sempre a mesma elipse . - Traço em
com : obtemos , e como é livre, cada solução gera duas retas verticais paralelas ao eixo . - Traço em
com : obtemos , também dando retas verticais para cada admissível.
Esses traços dizem que a superfície é composta por retas paralelas ao eixoque formam a elipse quando vistas de cima.
Passo 6
Instruções práticas para desenhar no computador (exemplo em Python com matplotlib). Ideia: construir uma malha de
com
e
num intervalo razoável (por exemplo
) e aplicar a parametrização do Passo 4. Exemplo de código (colar num notebook Python):
xem Python:
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0, 2np.pi, 100)
s = np.linspace(-4, 4, 50)
T, S = np.meshgrid(t, s)
X = np.cos(T)
Y = 2np.sin(T)
Z = S
s = np.linspace(-4, 4, 50)
T, S = np.meshgrid(t, s)
X = np.cos(T)
Y = 2np.sin(T)
Z = S
fig = plt.figure(figsize=(6,6))
ax = fig.add_subplot(111, projection=‘3d’)
ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, color=‘lightblue’, alpha=0.7)
ax.set_xlabel(‘x’); ax.set_ylabel(‘y’); ax.set_zlabel(‘z’)
ax.set_box_aspect([1,2,1]) # para visualizar proporção aproximada
plt.show()
ax = fig.add_subplot(111, projection=‘3d’)
ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, color=‘lightblue’, alpha=0.7)
ax.set_xlabel(‘x’); ax.set_ylabel(‘y’); ax.set_zlabel(‘z’)
ax.set_box_aspect([1,2,1]) # para visualizar proporção aproximada
plt.show()
Breve explicação do código: o vetor
percorre a elipse,
percorre a altura;
são avaliados na malha
e plotados com uma superfície. Ajustar o intervalo de
conforme preferir para ver mais/menos extensão vertical.
Passo 7
Resumo geométrico e propriedades úteis para a prova:
- A superfície é um cilindro elíptico com eixo paralelo ao eixo
. - Seção por
constante: elipse (semi-eixos em e em ). - Parametrização conveniente:
. - Interceptos com os planos coordenados (no plano
): e .
Resposta
Cilindro elíptico paralelo ao eixo
; seção em
constante:
.