Desenhe as superfícies no computador e identifique-as.
4 x^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede: “Desenhe as superfícies no computador e identifique-as.” A informação dada é a equação
4x^{2}+y^{2}=4.
Informações relevantes do enunciado/imagem que foram fornecidas:
  • Há um sistema de eixos tridimensional com eixos x, y, z.
  • A equação não envolve z.
    As perguntas implícitas que devo responder são:
  • Que superfície do espaço tridimensional é representada por \,4x^{2}+y^{2}=4?
  • Como desenhá-la no computador (como parâmetro / instrução de plot)?

Passo 2

Transformar a equação para ver sua forma padrão no plano xy. Dividindo ambos os lados por 4 obtemos
x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1.
Aqui explico o que isso significa: uma equação do tipo
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
é a equação canônica de uma elipse no plano xy, com semi-eixo em x igual a a e semi-eixo em y igual a b. Comparando, temos a=1 e b=2. Logo, a curva no plano z=0 é a elipse com interseções em x=\pm 1 e y=\pm 2:
x=\pm 1,\qquad y=\pm 2.

Passo 3

Explicar por que a superfície é um cilindro elíptico. Observação chave: a equação não contém z. Isso significa que se (x,y) satisfazem a equação, então qualquer ponto (x,y,z) com qualquer valor de z\in\mathbb{R} também satisfaz. Geometricamente, a elipse do plano xy é “esticada” em todas as direções do eixo z. O nome padrão para essa superfície é cilindro elíptico (ou cilindro cujo geratriz é paralela ao eixo z).

Passo 4

Apresentar uma parametrização útil para desenhar no computador. Uma parametrização natural da elipse é usar um parâmetro angular t para a elipse e um parâmetro s para a direção do eixo z:
x=\cos t,\qquad y=2\sin t,\qquad z=s,
com t\in[0,2\pi) e s\in\mathbb{R}. Explicação didática: quando t varia de 0 a 2\pi a dupla (x,y)=(\cos t,2\sin t) percorre a elipse no plano xy; para cada ponto da elipse, deixar s variar percorre a geratriz vertical, produzindo o cilindro.

Passo 5

Traços (fatiamentos) que ajudam a visualizar e a desenhar manualmente:
  • Traço no plano z=z_{0} (qualquer constante): é sempre a mesma elipse \,x^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}=1.
  • Traço em x=x_{0} com |x_{0}|<1: obtemos y=\pm\sqrt{4-4x_{0}^{2}}, e como z é livre, cada solução gera duas retas verticais paralelas ao eixo z.
  • Traço em y=y_{0} com |y_{0}|\le 2: obtemos x=\pm\sqrt{1-y_{0}^{2}/4}, também dando retas verticais para cada y_{0} admissível.
    Esses traços dizem que a superfície é composta por retas paralelas ao eixo z que formam a elipse quando vistas de cima.

Passo 6

Instruções práticas para desenhar no computador (exemplo em Python com matplotlib). Ideia: construir uma malha de (t,s) com t\in[0,2\pi] e s num intervalo razoável (por exemplo [-4,4]) e aplicar a parametrização do Passo 4. Exemplo de código (colar num notebook Python):
xem Python:
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0, 2np.pi, 100)
s = np.linspace(-4, 4, 50)
T, S = np.meshgrid(t, s)
X = np.cos(T)
Y = 2
np.sin(T)
Z = S
fig = plt.figure(figsize=(6,6))
ax = fig.add_subplot(111, projection=‘3d’)
ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, color=‘lightblue’, alpha=0.7)
ax.set_xlabel(‘x’); ax.set_ylabel(‘y’); ax.set_zlabel(‘z’)
ax.set_box_aspect([1,2,1]) # para visualizar proporção aproximada
plt.show()
Breve explicação do código: o vetor t percorre a elipse, s percorre a altura; X,Y,Z são avaliados na malha (T,S) e plotados com uma superfície. Ajustar o intervalo de s conforme preferir para ver mais/menos extensão vertical.

Passo 7

Resumo geométrico e propriedades úteis para a prova:
  • A superfície é um cilindro elíptico com eixo paralelo ao eixo z.
  • Seção por z= constante: elipse \,x^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 (semi-eixos 1 em x e 2 em y).
  • Parametrização conveniente: \,x=\cos t,\;y=2\sin t,\;z=s.
  • Interceptos com os planos coordenados (no plano z=0): (\pm 1,0,0) e (0,\pm 2,0).

Resposta

Cilindro elíptico paralelo ao eixo z; seção em z= constante: x^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}=1.

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