Um determinado gás encontra-se contido em um cilindro provido de um êmbolo sobre o qual são colocados vários pesos pequenos. A pressão absoluta inicial é de
e o volume inicial do gás é de
, porém durante a transferência de calor, os pesos são removidos de tal maneira que a expressão PV
é constante e descreve a relação entre a pressão e o volume durante o processo. Novamente o volume final é
. Identificar o tipo de processo e calcule o trabalho. ( 2,5 pontos)
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que aparecem):
- Pressão absoluta inicial:
. - Volume inicial:
. - A relação entre pressão e volume durante o processo é
constante, ou seja o expoente é . - Volume final:
.
O enunciado pede:
- Identificar o tipo de processo.
- Calcular o trabalho realizado pelo gás durante o processo.
Passo 2
Interpretação do expoente e conversão de unidades (sempre importante):
- O expoente dado é
. - Para contas vamos transformar
para pascal (SI): . - Mantemos
e em SI.
Passo 3
Calcular a pressão final
usando a fórmula fornecida
Primeiro calcule a razão de volumes:
Agora elevamos a razão ao expoente
. Uma forma prática é escrever
Calculando numericamente (mostrando as aproximações):
Portanto
Passo 4
Derivar a expressão do trabalho para um processo politrópico (a fórmula dada):
- Em um processo o trabalho realizado pelo gás é
- Como
constante, existe uma constante tal que . Em particular . - Substituindo na integral:
- Reescrevendo usando
e observando que e , chegamos à fórmula prática
que é exatamente a fórmula fornecida no enunciado. Aqui:
-
é o trabalho (em joules, porque ); -
estão em pascal e em metros cúbicos; -
é o expoente politrópico.
Passo 5
Calcular numericamente o trabalho usando a fórmula
Substituindo os valores já calculados:
-
-
Agora o numerador:
O denominador:
Portanto
Observação física rápida: o trabalho saiu positivo porque o volume aumentou (o gás expandiu e realizou trabalho sobre o meio), o que está de acordo com o sinal positivo do resultado.
Passo 6
Identificação do tipo de processo:
- A equação
constante com caracteriza um processo politrópico (politrópico) de expoente . - Não é isotérmico (que seria
) nem, necessariamente, adiabático (adiabático reversível teria ; para gases comuns costuma ser por exemplo para diatômicos, diferente de ). Logo a classificação correta é: processo politrópico com .
Resposta
Processo: processo politrópico com
.
Trabalho:
Trabalho: