Um determinado gás encontra-se contido em um cilindro provido de um êmbolo sobre o qual são colocados vários pesos pequenos. A pressão absoluta inicial é de 291,5 \mathrm{kPa} e o volume inicial do gás é de 0,04 \mathrm{~m}^{3}, porém durante a transferência de calor, os pesos são removidos de tal maneira que a expressão PV { }^{1,2} é constante e descreve a relação entre a pressão e o volume durante o processo. Novamente o volume final é 0,1 \mathrm{~m}^{3}. Identificar o tipo de processo e calcule o trabalho. ( 2,5 pontos)
P_{2}=P_{1}\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{n} \quad W=\frac{P_{2} V_{2}-P_{1} V_{1}}{1-n}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que aparecem):
  • Pressão absoluta inicial: P_{1}=291,5\\ \mathrm{kPa}.
  • Volume inicial: V_{1}=0,04\\ \mathrm{m}^{3}.
  • A relação entre pressão e volume durante o processo é P V^{1,2}= constante, ou seja o expoente é n=1,2.
  • Volume final: V_{2}=0,1\\ \mathrm{m}^{3}.
    O enunciado pede:
  1. Identificar o tipo de processo.
  2. Calcular o trabalho realizado pelo gás durante o processo.

Passo 2

Interpretação do expoente e conversão de unidades (sempre importante):
  • O expoente dado é n=1,2.
  • Para contas vamos transformar P_{1} para pascal (SI): P_{1}=291,5\\ \mathrm{kPa}=291{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}=291\,500\\ \mathrm{Pa}.
  • Mantemos V_{1}=0{,}04\\ \mathrm{m}^{3} e V_{2}=0{,}1\\ \mathrm{m}^{3} em SI.

Passo 3

Calcular a pressão final P_{2} usando a fórmula fornecida
P_{2}=P_{1}\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{n}.
Primeiro calcule a razão de volumes:
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{0{,}04}{0{,}1}=0{,}4.
Agora elevamos a razão ao expoente n=1{,}2. Uma forma prática é escrever
0{,}4^{1{,}2}=0{,}4^{1}\cdot0{,}4^{0{,}2}=0{,}4\cdot e^{0{,}2\ln(0{,}4)}.
Calculando numericamente (mostrando as aproximações):
\ln(0{,}4)\approx-0{,}9162907,\qquad 0{,}2\ln(0{,}4)\approx-0{,}1832581,
e^{-0{,}1832581}\approx0{,}8320\quad\Rightarrow\quad 0{,}4^{1{,}2}\approx0{,}4\times0{,}8320\approx0{,}3328.
Portanto
P_{2}=291\,500\\ \mathrm{Pa}\times0{,}3328\approx97\,011{,}2\\ \mathrm{Pa}\approx97{,}01\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Derivar a expressão do trabalho para um processo politrópico (a fórmula dada):
  • Em um processo o trabalho realizado pelo gás é
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV.
  • Como P V^{n}= constante, existe uma constante C tal que P=C\,V^{-n}. Em particular C=P_{1}V_{1}^{n}=P_{2}V_{2}^{n}.
  • Substituindo na integral:
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}C\,V^{-n}\,dV = C\left[\frac{V^{1-n}}{1-n}\right]_{V_{1}}^{V_{2}} =\frac{C}{1-n}\left(V_{2}^{1-n}-V_{1}^{1-n}\right).
  • Reescrevendo usando C=P_{1}V_{1}^{n} e observando que P_{1}V_{1}^{n}V_{1}^{1-n}=P_{1}V_{1} e P_{1}V_{1}^{n}V_{2}^{1-n}=P_{2}V_{2}, chegamos à fórmula prática
W=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-n},
que é exatamente a fórmula fornecida no enunciado. Aqui:
  • W é o trabalho (em joules, porque 1\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^{3}=1\\ \mathrm{J});
  • P_{1},P_{2} estão em pascal e V_{1},V_{2} em metros cúbicos;
  • n é o expoente politrópico.

Passo 5

Calcular numericamente o trabalho usando a fórmula
W=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-n}
Substituindo os valores já calculados:
  • P_{1}V_{1}=291\,500\\ \mathrm{Pa}\times0{,}04\\ \mathrm{m}^{3}=11\,660\\ \mathrm{J}.
  • P_{2}V_{2}=97\,011{,}2\\ \mathrm{Pa}\times0{,}1\\ \mathrm{m}^{3}=9\,701{,}12\\ \mathrm{J}.
    Agora o numerador:
P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}=9\,701{,}12-11\,660=-1\,958{,}88\\ \mathrm{J}.
O denominador:
1-n=1-1{,}2=-0{,}2.
Portanto
W=\frac{-1\,958{,}88}{-0{,}2}=9\,794{,}4\\ \mathrm{J}\approx9{,}79\times10^{3}\\ \mathrm{J}\approx9{,}79\\ \mathrm{kJ}.
Observação física rápida: o trabalho saiu positivo porque o volume aumentou (o gás expandiu e realizou trabalho sobre o meio), o que está de acordo com o sinal positivo do resultado.

Passo 6

Identificação do tipo de processo:
  • A equação P V^{n}= constante com n=1{,}2 caracteriza um processo politrópico (politrópico) de expoente n=1{,}2.
  • Não é isotérmico (que seria n=1) nem, necessariamente, adiabático (adiabático reversível teria n=\gamma; para gases comuns \gamma costuma ser por exemplo 1{,}4 para diatômicos, diferente de 1{,}2). Logo a classificação correta é: processo politrópico com n=1{,}2.

Resposta

Processo: processo politrópico com n=1{,}2.
Trabalho: W=9\,794{,}4\\ \mathrm{J}\approx9{,}79\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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