Um gás na condição inicial
bar e
sofre uma compressão isotérmica reversivel seguida por resfriamento reversivel à pressão constante atingindo uma condição final de
bar e
. Esboce a trajetória em um diagrama
e calcule o calor e o trabalho envolvidos no processo. Para realizar os cálculos, admitir gás ideal. Dados:
; e
pontos
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede — e já aviso uma coisa importante que aparece nos dados.
Dados fornecidos:
-
. -
. - Processo: compressão isotérmica reversível (etapa 1) seguida de resfriamento reversível à pressão constante (etapa 2), atingindo o estado final.
- Estado final:
e . - Constantes dadas:
; ; .
O enunciado pede:
- Esboçar a trajetória no diagrama
. - Calcular o calor
e o trabalho envolvidos no processo (interpreto como os valores totais ao longo das duas etapas).
Observação importante sobre os dados: para um gás ideal deve valer sempre
Os valores dados têm
, o que contradiz a relação do gás ideal. Vou assumir que o problema quis dar os valores típicos de um gás diatômico, ou seja
e portanto
(assim
). Vou usar
para manter consistência com o modelo de gás ideal. Não peço confirmação — prossigo com essa correção porque a relação termodinâmica é obrigatória.
Unidades e conversão úteis:
- Usarei
(pois e , então ). - Para cálculos de trabalho em
posso trabalhar com em bar e em L e, no fim, multiplicar por para obter Joules (efeito prático: produtos [bar] [L] já representam centenas de joules).
Passo 2
Esboço qualitativo da trajetória
(descrição para desenhar):
- Do ponto inicial
ocorre uma compressão isotérmica até um estado intermediário em que a pressão alcança . A curva isotérmica é dada por constante (uma hipérbole no diagrama ): ela sobe em enquanto diminui. - Depois, há resfriamento à pressão constante
levando o volume de um valor intermediário até . No diagrama essa etapa é uma linha horizontal (constante ) que vai de para (movendo-se para a esquerda, já que o volume diminui).
Observação: preciso determinar o volume intermediário(final da isotérmica / início da isobárica) para fazer os cálculos.
Passo 3
Determinar o volume intermediário
após a compressão isotérmica.
- Para a isotérmica vale
. Como a etapa seguinte é à pressão constante igual a , o mais natural é que a isotérmica termine com . - Portanto:
Agora calculo numericamente (usando
em bar e
em L):
Passo 4
Energia, sinal e fórmula para trabalho na isotérmica reversível.
- Convenção que uso:
é o trabalho realizado PELO gás: . Com essa convenção, compressão (redução de ) dá (o gás realiza trabalho negativo; trabalho é feito sobre o gás). - Para uma isotérmica reversível de gás ideal:
- Como
no estado inicial, posso escrever:
- Para o gás ideal, a energia interna
da isotérmica é zero, então .
Agora os valores numéricos: primeiro
em joules:
O argumento do logaritmo:
Logo:
Calculo:
Portanto:
-
. -
.
(Interpretação física: como o gás foi comprimido isotermicamente, calor saiu do gás para manter a temperatura constante; sinais negativos indicam calor liberado e trabalho feito sobre o gás.)
Passo 5
Trabalho e calor na etapa isobárica (resfriamento a
) — fórmulas e explicação didática.
- Para um processo isobárico (pressão constante
):
(Lembrando que
é trabalho pelo gás: se
então
e
.)
- Calor na isobárica para gás ideal:
Mas podemos expressar
via
. A diferença de temperatura é
Substituindo em
:
Isso elimina
: muito prático.
Cálculos numéricos (novamente
):
- Primeiro
. - Então
.
Portanto:
Agora
(dado), então
Verificação energética local (checar coerência): mudança de energia interna na isobárica é
Com
(assumido para consistência), temos
E
, compatível.
Passo 6
Somando as etapas para obter o trabalho e o calor totais do processo (etapa 1 + etapa 2).
- Trabalho total:
Arredondando para 3 algarismos significativos:
- Calor total:
Arredondando:
Checagem rápida pela primeira lei (total):
Aqui
deve ser igual à
da segunda etapa (a isotérmica tem
), logo
. Calculando com os números obtidos:
coerente com a isobárica. Bom sinal de consistência.