a) Em um determinado laboratório de química, um estudante recebe do professor um recipiente contendo 0,500 \mathrm{~L} de uma solução aquosa saturada de hidróxido de magnésio, \mathrm{Mg}(\mathrm{OH})_{2}, em equilíbrio com uma quantidade de \mathrm{Mg}(\mathrm{OH})_{2} sólido, à 25^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a concentração de \mathrm{Mg}^{2+}(\mathrm{aq}), em \mathrm{mol} \mathrm{L}^{-1}, na solução.
\mathrm{Mg}(\mathrm{OH})_{2}(\mathrm{~s}) \rightleftharpoons \mathrm{Mg}^{2+}(\mathrm{aq})+2 \mathrm{OH}^{-}(\mathrm{aq}) \quad \mathrm{Kps}=1,8 \times 10^{-11} \text { à } 25^{\circ} \mathrm{C}à
b) O estudante adicionou 0,500 \mathrm{~L} de água pura na solução em equilíbrio do item anterior e verificou que essa quantidade de água não foi suficiente para dissolver todo o \mathrm{Mg}(\mathrm{OH})_{2} sólido, à 25^{\circ} \mathrm{C}. O que acontece com a concentração de \mathrm{Mg}^{2+} (aq) após o equilíbrio ser restabelecido na mesma temperatura? Justifique.
c) Agora o estudante removeu 50,00 \mathrm{~mL} da solução do item a e adicionou em um outro recipiente que já continha 150,0 \mathrm{~mL} de uma solução aquosa de KOH (base forte) 0,150 \mathrm{~mol} \mathrm{L}^{-1}. Mostre, com cálculos, se haverá precipitação do \mathrm{Mg}(\mathrm{OH})_{2}.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos (tudo o que vou usar depois; peguei os números do enunciado).
  • Reação de equilíbrio:
\mathrm{Mg(OH)}_{2}(s)\rightleftharpoons \mathrm{Mg}^{2+}(aq)+2\,\mathrm{OH}^{-}(aq)
  • Constante do produto de solubilidade à 25^\circ\mathrm{C}:
K_{ps}=1,8\times10^{-11}.
  • Volume da solução saturada inicial: 0,500\\ \mathrm{L}.
  • Item (a): calcular a concentração de \mathrm{Mg}^{2+}(aq) na solução saturada (em \mathrm{mol\,L^{-1}}).
  • Item (b): foi adicionada mais 0,500\\ \mathrm{L} de água pura à solução (ou seja, duplicou-se o volume) e não foi suficiente para dissolver todo o sólido; perguntar o que ocorre com a concentração de \mathrm{Mg}^{2+} após novo equilíbrio, justificando.
  • Item (c): tomou-se 50,00\\ \mathrm{mL} (ou seja, 0,05000\\ \mathrm{L}) da solução do item (a) e misturou-se com 150,0\\ \mathrm{mL} ( 0,1500\\ \mathrm{L}) de solução de KOH 0,150\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. Pergunta-se se haverá precipitação de \mathrm{Mg(OH)}_{2} (mostrar com cálculos).

Passo 2

Entendendo o conceito que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Para um sal pouco solúvel que se dissocia como \mathrm{Mg(OH)}_{2}\rightleftharpoons \mathrm{Mg}^{2+}+2\mathrm{OH}^{-}, o produto de solubilidade é definido por
K_{ps}=[\mathrm{Mg}^{2+}]\,[\mathrm{OH}^{-}]^{2}.
  • Se a solubilidade molar do sal for s (em \mathrm{mol\,L^{-1}}), isto é, a quantidade de \mathrm{Mg}^{2+} que se forma por litro quando o sal dissolve, então ao atingir o equilíbrio:
[\mathrm{Mg}^{2+}]=s,\qquad [\mathrm{OH}^{-}]=2s
porque cada unidade de \mathrm{Mg(OH)}_{2} fornece um \mathrm{Mg}^{2+} e dois \mathrm{OH}^{-}.
  • Substituindo na expressão de K_{ps} obtemos a equação para s. Vou desenvolver isso com calma para você conseguir reproduzir na prova.

Passo 3

Montando a equação para a solubilidade s:
K_{ps}=[\mathrm{Mg}^{2+}][\mathrm{OH}^{-}]^{2}=s\,(2s)^{2}=4s^{3}.
Isolando s:
s^{3}=\frac{K_{ps}}{4}=\frac{1,8\times10^{-11}}{4}=4,5\times10^{-12}.
Portanto
s=\sqrt[3]{4,5\times10^{-12}}.

Passo 4

Cálculo numérico do valor de s (passo a passo, sem pular contas):
  • Escrevo 4,5\times10^{-12}=(4,5) \times 10^{-12}. A raiz cúbica separa-se em dois fatores:
s=\sqrt[3]{4,5}\times\sqrt[3]{10^{-12}}=\sqrt[3]{4,5}\times10^{-4}.
  • Agora estimativa de \sqrt[3]{4,5}. Podemos testar 1,65^{3}=1,65\cdot1,65\cdot1,65\approx4,496, que é muito próximo de 4,5. Logo \sqrt[3]{4,5}\approx1,65.
  • Assim
s\approx1,65\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 5

Interpretação do resultado do item (a) e resposta numérica:
  • A concentração de \mathrm{Mg}^{2+}(aq) em uma solução aquosa saturada de \mathrm{Mg(OH)}_{2} à 25^\circ\mathrm{C} é
[\mathrm{Mg}^{2+}]=s\approx1,65\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
(guarda esse valor para os próximos itens).

Passo 6

Explicação didática do que ocorre quando se adiciona água (item b):
  • Quando se adiciona água pura à solução saturada que ainda contém \mathrm{Mg(OH)}_{2}(s), as concentrações dos íons diminuem imediatamente por diluição. Por exemplo, ao dobrar o volume (de 0,500 para 1,000\\ \mathrm{L}) as concentrações iniciais caem à metade: [\mathrm{Mg}^{2+}]_{dil}=\dfrac{s}{2} e [\mathrm{OH}^{-}]_{dil}=\dfrac{2s}{2}=s.
  • Calculamos o quociente de reação Q logo após a diluição:
Q=[\mathrm{Mg}^{2+}]_{dil}\,[\mathrm{OH}^{-}]_{dil}^{2}=\left(\frac{s}{2}\right)\,(s)^{2}=\frac{s^{3}}{2}.
  • Usando s^{3}=\dfrac{K_{ps}}{4} (do Passo 3), obtemos
Q=\frac{1}{2}\cdot\frac{K_{ps}}{4}=\frac{K_{ps}}{8}.
  • Como Q=\dfrac{K_{ps}}{8}<K_{ps}, o sistema fica insaturado imediatamente após a diluição e, portanto, parte do sólido \mathrm{Mg(OH)}_{2} restante se dissolve até que o equilíbrio seja restabelecido com Q voltando a igualar K_{ps}.
  • Se após a adição de água ainda há sólido \mathrm{Mg(OH)}_{2} presente (o enunciado diz que a água adicionada não dissolveu todo o sólido), o equilíbrio final é a condição saturada original. Logo a concentração de \mathrm{Mg}^{2+} retorna ao valor de solubilidade s calculado no item (a).

Passo 7

Resposta conceitual final do item (b) (resumindo a lógica para a prova):
  • A concentração de \mathrm{Mg}^{2+}(aq) permanece inalterada (volta ao mesmo valor de saturação) porque o sólido \mathrm{Mg(OH)}_{2} permanece presente e o equilíbrio é fixado pelo K_{ps} na mesma temperatura.

Passo 8

Preparo para o item (c): o que acontece ao misturar porções e como testar precipitação
  • Estratégia: calcular as concentrações iniciais dos íons após mistura e comparar o produto iônico Q=[\mathrm{Mg}^{2+}][\mathrm{OH}^{-}]^{2} com K_{ps}.
  • Se Q>K_{ps} => solução supersaturada e haverá precipitação de \mathrm{Mg(OH)}_{2}.
  • Se Q\le K_{ps} => nada precipita (ou não ocorre precipitação).

Passo 9

Dados e moles iniciais para a mistura (pegando s do Passo 5):
  • Volume da alíquota da solução saturada: V_{1}=0,05000\\ \mathrm{L}.
  • Concentração de \mathrm{Mg}^{2+} nessa alíquota: [\mathrm{Mg}^{2+}]_{1}=s.
  • Moles de \mathrm{Mg}^{2+} na alíquota:
n(\mathrm{Mg}^{2+})=s\cdot V_{1}=1,65\times10^{-4}\cdot0,05000.
  • Volume da solução de KOH: V_{2}=0,1500\\ \mathrm{L}, concentração [\mathrm{OH}^{-}]_{2}=0,150\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} (KOH é base forte, dissocia totalmente).
  • Moles de \mathrm{OH}^{-} na solução de KOH:
n(\mathrm{OH}^{-})_{KOH}=0,150\cdot0,1500=0,02250\\ \mathrm{mol}.
  • Volume total após mistura: V_{tot}=0,05000+0,1500=0,2000\\ \mathrm{L}.

Passo 10

Cálculo das concentrações imediatas após mistura (antes de qualquer precipitação):
  • Concentração de \mathrm{Mg}^{2+} após mistura:
[\mathrm{Mg}^{2+}]_{mix}=\frac{n(\mathrm{Mg}^{2+})}{V_{tot}}=\frac{s\cdot0,05000}{0,2000}=0,25\,s.
  • Substituindo s=1,65\times10^{-4}:
[\mathrm{Mg}^{2+}]_{mix}=0,25\times1,65\times10^{-4}=4,13\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
(obs.: mostrei o fator de diluição 0,25 para que você entenda o procedimento na prova.)

Passo 11

Cálculo da concentração de \mathrm{OH}^{-} após mistura:
  • Moles de \mathrm{OH}^{-} trazidos pela alíquota da solução saturada: n(\mathrm{OH}^{-})_{sol}=(2s)\cdot0,05000=0,10000\,s.
  • Moles totais de \mathrm{OH}^{-} após mistura:
n(\mathrm{OH}^{-})_{tot}=0,10000\,s+0,02250.
  • Concentração de \mathrm{OH}^{-} após mistura:
[\mathrm{OH}^{-}]_{mix}=\frac{0,10000\,s+0,02250}{0,2000}=0,5\,s+0,11250.
  • Substituindo s=1,65\times10^{-4}:
0,5s=0,5\times1,65\times10^{-4}=8,25\times10^{-5},
[\mathrm{OH}^{-}]_{mix}=8,25\times10^{-5}+0,11250\approx0,1125825\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 12

Cálculo do produto iônico Q imediato e comparação com K_{ps}:
  • Fórmula:
Q=[\mathrm{Mg}^{2+}]_{mix}\,[\mathrm{OH}^{-}]_{mix}^{2}.
  • Substituindo os valores numéricos:
[\mathrm{Mg}^{2+}]_{mix}=4,13\times10^{-5}, \qquad [\mathrm{OH}^{-}]_{mix}=0,1125825.
  • Calculando [\mathrm{OH}^{-}]_{mix}^{2}:
(0,1125825)^{2}\approx0,0126679.
  • Agora Q:
Q\approx4,13\times10^{-5}\times0,0126679\approx5,23\times10^{-7}.
  • Comparação com K_{ps}=1,8\times10^{-11}:
Q\approx5,23\times10^{-7}\gg K_{ps}=1,8\times10^{-11}.
  • Conclusão: Q>K_{ps}, portanto a solução está supersaturada em relação a \mathrm{Mg(OH)}_{2} e ocorrerá precipitação até que o produto iônico caia a K_{ps} (ou até que todo o \mathrm{Mg}^{2+} que pode precipitar tenha precipitado).

Passo 13

Interpretação final para a prova (resumo rápido que você pode usar como justificativa escrita):
  • (a) calculei a solubilidade s via K_{ps}=4s^{3} e obtive s\approx1,65\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • (b) ao adicionar água e mantendo sólido, a concentração volta ao valor de saturação determinado pelo K_{ps}; portanto [\mathrm{Mg}^{2+}] permanece inalterada (o sólido adicional dissolve até restabelecer o equilíbrio).
  • (c) após misturar a pequena alíquota com KOH, calculei Q e verifiquei que Q\gg K_{ps}; logo haverá precipitação de \mathrm{Mg(OH)}_{2}.

Resposta

(a) 1,65\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
(b) Permanece inalterada — retorna ao valor de saturação 1,65\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
(c) Sim — haverá precipitação (pois Q\approx5,23\times10^{-7}>K_{ps}=1,8\times10^{-11}).

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