Um determinado material metálico possui função trabalho phi. Ao ser iluminado por luz de comprimento de onda lambda, o material emite elétrons não relativísticos de massa m_{0} com máxima energia cinética.
(b) ( 0,5 ponto) Em qual condição haverá emissão de elétrons desse material? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma condição para emissão de elétrons:
  • Há um material metálico com função trabalho \varphi.
  • O material é iluminado por luz de comprimento de onda \lambda.
  • Os elétrons emitidos são não relativísticos e têm massa m_{0} (essa massa foi informada, mas não é necessária para encontrar a condição de existência de emissão).
  • A pergunta (parte b) é: “Em qual condição haverá emissão de elétrons desse material? Justifique.”

Passo 2

Primeiro, lembre o que é a energia de um fóton (uma partícula de luz). A energia de um fóton é dada por
E_{\text{fóton}} = h\nu,ó
onde:
  • h é a constante de Planck ( h\approx 6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}),
  • \nu é a frequência da luz (em Hz).
A frequência e o comprimento de onda estão relacionados pela velocidade da luz:
\nu = \frac{c}{\lambda},
onde c é a velocidade da luz no vácuo ( c\approx 3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}) e \lambda é o comprimento de onda dado no enunciado.
Substituindo, a energia do fóton pode também ser escrita como
E_{\text{fóton}} = \frac{hc}{\lambda}.ó

Passo 3

Agora a ideia física (energia): para arrancar um elétron do metal é preciso dar a ele pelo menos a energia igual à função trabalho \varphi. Se o fóton fornece mais energia que \varphi, o excesso aparece como energia cinética máxima do elétron emitido. Em forma de equação de conservação de energia:
K_{\max} = E_{\text{fóton}} - \varphi,ó
onde K_{\max} é a energia cinética máxima que o elétron pode ter após a emissão, e \varphi é a energia mínima necessária para libertar o elétron (a função trabalho).

Passo 4

Para que ocorra emissão de elétrons é necessário que exista pelo menos energia cinética resultante não negativa, ou seja
K_{\max} \ge 0.
Usando a equação anterior isso vira
E_{\text{fóton}} - \varphi \ge 0 \quad\Rightarrow\quad E_{\text{fóton}} \ge \varphi.óó
Substituindo E_{\text{fóton}}=\dfrac{hc}{\lambda}ó (ver Passo 2), obtemos a condição em termos do comprimento de onda. A forma final e compacta dessa condição está na seção de resposta.

Passo 5

Interpretação física e comentários motivadores: a desigualdade significa que cada fóton deve ter energia igual ou maior que a função trabalho para arrancar um elétron. Se a energia do fóton for menor que \varphi, nenhum elétron será emitido, não importa a intensidade da luz (aumentar intensidade só aumenta o número de fótons, não a energia de cada fóton). A igualdade corresponde ao caso limite em que os elétrons saem com energia cinética zero ( K_{\max}=0), e valores mais curtos de comprimento de onda (maior energia) dão elétrons com K_{\max}>0.

Resposta

\dfrac{hc}{\lambda}\ge\varphi
equivalente a
\lambda \le \dfrac{hc}{\varphi}

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