35.26 Uma lente convergente com distância focal de
forma uma imagem de um objeto com altura igual a
situado à esquerda da lente. A imagem é invertida e possui altura de
. Onde estão localizados o objeto e a imagem? A imagem é real ou virtual?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pergunta o que se pede:
-
Dados:
- A lente é convergente com distância focal
. - A altura do objeto é
. - A imagem é invertida e tem altura de
.
- A lente é convergente com distância focal
-
Perguntas:
- Onde está localizado o objeto (distância ao eixo óptico da lente)?
- Onde está localizada a imagem (distância ao eixo óptico da lente; lado direito ou esquerdo)?
- A imagem é real ou virtual?
Observações importantes extraídas do enunciado: a imagem ser invertida significa que a sua altura, quando usada em fórmulas de ampliação, deve ser tomada com sinal negativo.
Passo 2
Vou apresentar as fórmulas que vamos usar e explicar cada símbolo (tudo passo a passo e com calma).
- Equação dos focos (lente delgada):
onde:
-
é a distância focal da lente (positiva para lente convergente), -
é a distância do objeto até a lente (positiva quando o objeto está à esquerda da lente, que é o caso usual), -
é a distância da imagem até a lente (positiva se a imagem está do outro lado da lente em relação ao objeto — isto é, à direita — e então a imagem é real; negativa se estiver do mesmo lado do objeto, então virtual). -
Ampliação (magnificação):
onde:
-
é a altura do objeto (tomada positiva), -
é a altura da imagem (se a imagem está invertida, ; se ereta, ), -
é a ampliação (se a imagem é invertida; o módulo é o fator de escala entre alturas).
Essas duas equações nos permitem relacionar alturas conhecidas com distâncias desconhecidas
e
.
Passo 3
Converter unidades e calcular a ampliação a partir das alturas (detalhando a conversão):
- Converter
para centímetros:
- A imagem é invertida e tem altura de
. Como é invertida, na fórmula tomamos .
Calcular a ampliação:
Interpretação imediata:
significa que a imagem é
vezes maior que o objeto; o sinal negativo indica inversão.
Passo 4
Relacionar ampliação com distâncias e obter uma relação entre
e
.
Da fórmula
substituindo
:
Cancelando os sinais negativos:
Logo podemos escrever
Passo 5
Substituir essa relação na equação dos focos para encontrar
.
A equação dos focos é
Substituindo
:
Isolando
:
Passo 6
Fazer as contas numéricas com cuidado (mostrando as frações/exatidões quando útil).
Calcular
. Note que
, portanto
Então
Agora calcular
:
(operando exatamente:
).
Passo 7
Encontrar
usando
.
Converter para metros para ter uma noção prática:
Arredondando com o número apropriado de algarismos significativos (os dados iniciais têm três algarismos significativos), podemos apresentar:
Passo 8
Determinar se a imagem é real ou virtual e dar a interpretação física (explicação didática).
- Encontramos
(objeto à esquerda da lente) e (imagem a direita da lente). Pela convenção de sinais, significa imagem real (formada do outro lado da lente em relação ao objeto). - Além disso, a ampliação
confirma que a imagem é invertida. Imagens reais em lentes convergentes costumam ser invertidas (quando o objeto está além do foco), então tudo está consistente. - Interpretação física rápida: o objeto está pouco além da distância focal (
vs ), por isso a lente forma uma imagem muito ampliada e muito distante à direita (imagem real e grande).
Resposta
Objeto:
à esquerda da lente.
Imagem: à direita da lente.
Natureza da imagem: real (e invertida).
Imagem:
Natureza da imagem: real (e invertida).