35.26 Uma lente convergente com distância focal de 90,0 \mathrm{~cm} forma uma imagem de um objeto com altura igual a 3,20 \mathrm{~mm} situado à esquerda da lente. A imagem é invertida e possui altura de 4,50 \mathrm{~cm}. Onde estão localizados o objeto e a imagem? A imagem é real ou virtual?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pergunta o que se pede:
  • Dados:
    • A lente é convergente com distância focal f = 90,0\\ \mathrm{cm}.
    • A altura do objeto é h = 3,20\\ \mathrm{mm}.
    • A imagem é invertida e tem altura de 4,50\\ \mathrm{cm}.
  • Perguntas:
    1. Onde está localizado o objeto (distância ao eixo óptico da lente)?
    2. Onde está localizada a imagem (distância ao eixo óptico da lente; lado direito ou esquerdo)?
    3. A imagem é real ou virtual?
Observações importantes extraídas do enunciado: a imagem ser invertida significa que a sua altura, quando usada em fórmulas de ampliação, deve ser tomada com sinal negativo.

Passo 2

Vou apresentar as fórmulas que vamos usar e explicar cada símbolo (tudo passo a passo e com calma).
  • Equação dos focos (lente delgada):
\frac{1}{f} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s'}
onde:
  • f é a distância focal da lente (positiva para lente convergente),
  • s é a distância do objeto até a lente (positiva quando o objeto está à esquerda da lente, que é o caso usual),
  • s' é a distância da imagem até a lente (positiva se a imagem está do outro lado da lente em relação ao objeto — isto é, à direita — e então a imagem é real; negativa se estiver do mesmo lado do objeto, então virtual).
  • Ampliação (magnificação):
m = \frac{h'}{h} = -\frac{s'}{s}
onde:
  • h é a altura do objeto (tomada positiva),
  • h' é a altura da imagem (se a imagem está invertida, h'<0; se ereta, h'>0),
  • m é a ampliação (se m<0 a imagem é invertida; o módulo |m| é o fator de escala entre alturas).
Essas duas equações nos permitem relacionar alturas conhecidas com distâncias desconhecidas s e s'.

Passo 3

Converter unidades e calcular a ampliação a partir das alturas (detalhando a conversão):
  • Converter h = 3,20\\ \mathrm{mm} para centímetros:
h = 3,20\\ \mathrm{mm} = 0,320\\ \mathrm{cm}.
  • A imagem é invertida e tem altura de 4,50\\ \mathrm{cm}. Como é invertida, na fórmula tomamos h' = -4,50\\ \mathrm{cm}.
Calcular a ampliação:
m = \frac{h'}{h} = \frac{-4,50}{0,320} = -14,0625.
Interpretação imediata: |m| = 14,0625 significa que a imagem é 14,0625 vezes maior que o objeto; o sinal negativo indica inversão.

Passo 4

Relacionar ampliação com distâncias e obter uma relação entre s e s'.
Da fórmula
m = -\frac{s'}{s},
substituindo m=-14,0625:
-14,0625 = -\frac{s'}{s}.
Cancelando os sinais negativos:
\frac{s'}{s} = 14,0625.
Logo podemos escrever
s' = 14,0625\,s.

Passo 5

Substituir essa relação na equação dos focos para encontrar s.
A equação dos focos é
\frac{1}{f} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s'}.
Substituindo s' = 14,0625\,s:
\frac{1}{f} = \frac{1}{s} + \frac{1}{14,0625\,s} = \frac{1 + \dfrac{1}{14,0625}}{s}.
Isolando s:
s = f\left(1 + \frac{1}{14,0625}\right).

Passo 6

Fazer as contas numéricas com cuidado (mostrando as frações/exatidões quando útil).
Calcular \dfrac{1}{14,0625}. Note que 14,0625 = \dfrac{225}{16}, portanto
\frac{1}{14,0625} = \frac{16}{225} \approx 0,071111\ldots
Então
1 + \frac{1}{14,0625} = \frac{241}{225} \approx 1,071111\ldots
Agora calcular s:
s = 90,0\\ \mathrm{cm}\times\frac{241}{225} = 90,0\\ \mathrm{cm}\times 1,071111\ldots = 96,4\\ \mathrm{cm}.
(operando exatamente: 90\times \frac{241}{225} = \frac{90\cdot241}{225} = \frac{21690}{225} = \frac{482}{5} = 96,4).

Passo 7

Encontrar s' usando s' = 14,0625\,s.
s' = 14,0625 \times 96,4\\ \mathrm{cm} = 1355,625\\ \mathrm{cm}.
Converter para metros para ter uma noção prática:
1355,625\\ \mathrm{cm} = 13,55625\\ \mathrm{m}.
Arredondando com o número apropriado de algarismos significativos (os dados iniciais têm três algarismos significativos), podemos apresentar:
s \approx 96,4\\ \mathrm{cm},\qquad s' \approx 1{,}36\times 10^{3}\\ \mathrm{cm} = 13{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Determinar se a imagem é real ou virtual e dar a interpretação física (explicação didática).
  • Encontramos s > 0 (objeto à esquerda da lente) e s' > 0 (imagem a direita da lente). Pela convenção de sinais, s'>0 significa imagem real (formada do outro lado da lente em relação ao objeto).
  • Além disso, a ampliação m<0 confirma que a imagem é invertida. Imagens reais em lentes convergentes costumam ser invertidas (quando o objeto está além do foco), então tudo está consistente.
  • Interpretação física rápida: o objeto está pouco além da distância focal ( s=96,4\\ \mathrm{cm} vs f=90,0\\ \mathrm{cm}), por isso a lente forma uma imagem muito ampliada e muito distante à direita (imagem real e grande).

Resposta

Objeto: s = 96{,}4\\ \mathrm{cm} à esquerda da lente.
Imagem: s' \approx 1{,}36\times 10^{3}\\ \mathrm{cm} = 13{,}6\\ \mathrm{m} à direita da lente.
Natureza da imagem: real (e invertida).

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