Um determinado material metálico possui função trabalho
. Ao ser iluminado por luz de comprimento de onda
, o material emite elétrons não relativísticos de massa
com máxima energia cinética.
(a) (1,0 ponto) Calcule o comprimento de onda desses elétrons. Expresse sua resposta em termos dos dados do enunciado e demais constantes.
(a) (1,0 ponto) Calcule o comprimento de onda desses elétrons. Expresse sua resposta em termos dos dados do enunciado e demais constantes.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
- Dado: função trabalho do material
. - Dado: luz incidente com comprimento de onda
. - Dado: elétrons emitidos são não relativísticos e têm massa
. - Pedido (parte (a)): calcular o comprimento de onda desses elétrons (ou seja, o comprimento de onda de de Broglie dos elétrons de energia cinética máxima), expressando a resposta em termos de
, , e constantes físicas.
Passo 2
Entender a energia do fóton que incide no metal.
- Um fóton de comprimento de onda
tem energia dada pela relação de Planck:
onde
é a constante de Planck e
é a velocidade da luz.
Explanação rápida: essa fórmula vem de e
. Aqui
é a frequência da luz.
Explanação rápida: essa fórmula vem de
Passo 3
Aplicar a equação fotoelétrica de Einstein para a energia cinética máxima.
- A energia do fóton é gasta vencendo a função trabalho
mais sobrando como energia cinética máxima do elétron:
Observação importante: para haver emissão, precisa ser
; caso contrário não há elétrons emitidos. Aqui estou seguindo a equação de Einstein para efeito fotoelétrico.
Passo 4
Relacionar energia cinética com o momento (regime não relativístico).
- Para partículas não relativísticas a energia cinética está relacionada ao momento
por:
Isso vem diretamente da mecânica clássica/teórica limitante:
e
, então
. Aplicando ao caso do elétron emitido:
Passo 5
Substituir
na expressão do momento.
- Usando o resultado do passo 3,
Expliquei antes o que é cada símbolo:
é a massa do elétron (ou massa dada no enunciado),
constante de Planck,
velocidade da luz,
comprimento de onda da luz,
função trabalho.
Passo 6
Usar a relação de de Broglie entre comprimento de onda e momento.
- A hipótese de de Broglie liga comprimento de onda
do elétron e seu momento por:
Significado: partículas com momento
têm comportamento ondulatório com comprimento de onda
.
Passo 7
Combinar tudo para obter o comprimento de onda final.
- Substituindo
do passo 5 em obtemos
Passos algébricos: primeiro escrevemos
e depois invertemos multiplicando por
.
Passo 8
Comentários finais e condições de validade.
- Condição para a expressão ser física:
(fotão com energia maior que a função trabalho). - Regime não relativístico: a expressão assume que a energia cinética é pequena em relação a
; o enunciado já disse não relativístico, então podemos usar . - A fórmula final é direta e dá o comprimento de onda de de Broglie do elétron com energia cinética máxima.