Um determinado material metálico possui função trabalho phi. Ao ser iluminado por luz de comprimento de onda lambda, o material emite elétrons não relativísticos de massa m_{0} com máxima energia cinética.
(a) (1,0 ponto) Calcule o comprimento de onda desses elétrons. Expresse sua resposta em termos dos dados do enunciado e demais constantes.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
  • Dado: função trabalho do material \varphi.
  • Dado: luz incidente com comprimento de onda \lambda.
  • Dado: elétrons emitidos são não relativísticos e têm massa m_{0}.
  • Pedido (parte (a)): calcular o comprimento de onda desses elétrons (ou seja, o comprimento de onda de de Broglie dos elétrons de energia cinética máxima), expressando a resposta em termos de \varphi, \lambda, m_{0} e constantes físicas.

Passo 2

Entender a energia do fóton que incide no metal.
  • Um fóton de comprimento de onda \lambda tem energia dada pela relação de Planck:
E_{\text{fóton}} = \frac{h c}{\lambda},ó
onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz.
Explanação rápida: essa fórmula vem de E=h\nu e \nu = c/\lambda. Aqui \nu é a frequência da luz.

Passo 3

Aplicar a equação fotoelétrica de Einstein para a energia cinética máxima.
  • A energia do fóton é gasta vencendo a função trabalho \varphi mais sobrando como energia cinética máxima K_{\max} do elétron:
K_{\max} = \frac{h c}{\lambda} - \varphi.
Observação importante: para haver emissão, precisa ser \dfrac{h c}{\lambda}>\varphi; caso contrário não há elétrons emitidos. Aqui estou seguindo a equação de Einstein para efeito fotoelétrico.

Passo 4

Relacionar energia cinética com o momento (regime não relativístico).
  • Para partículas não relativísticas a energia cinética está relacionada ao momento p por:
K = \frac{p^{2}}{2 m_{0}}.
Isso vem diretamente da mecânica clássica/teórica limitante: K=\tfrac{1}{2}m v^{2} e p=m v, então K=p^{2}/(2m). Aplicando ao caso do elétron emitido:
p_{\max} = \sqrt{2 m_{0} K_{\max}}.

Passo 5

Substituir K_{\max} na expressão do momento.
  • Usando o resultado do passo 3,
p_{\max} = \sqrt{2 m_{0}\left(\frac{h c}{\lambda} - \varphi\right)}.
Expliquei antes o que é cada símbolo: m_{0} é a massa do elétron (ou massa dada no enunciado), h constante de Planck, c velocidade da luz, \lambda comprimento de onda da luz, \varphi função trabalho.

Passo 6

Usar a relação de de Broglie entre comprimento de onda e momento.
  • A hipótese de de Broglie liga comprimento de onda \lambda_{e} do elétron e seu momento p por:
\lambda_{e} = \frac{h}{p}.
Significado: partículas com momento p têm comportamento ondulatório com comprimento de onda h/p.

Passo 7

Combinar tudo para obter o comprimento de onda final.
  • Substituindo p_{\max} do passo 5 em \lambda_{e}=h/p obtemos
\lambda_{e} = \frac{h}{\sqrt{2 m_{0}\left(\dfrac{h c}{\lambda} - \varphi\right)}}.
Passos algébricos: primeiro escrevemos p_{\max}=\sqrt{2 m_{0}(h c/\lambda - \varphi)} e depois invertemos multiplicando por h.

Passo 8

Comentários finais e condições de validade.
  • Condição para a expressão ser física: \dfrac{h c}{\lambda}-\varphi>0 (fotão com energia maior que a função trabalho).
  • Regime não relativístico: a expressão assume que a energia cinética é pequena em relação a m_{0}c^{2}; o enunciado já disse não relativístico, então podemos usar K=p^{2}/(2m_{0}).
  • A fórmula final é direta e dá o comprimento de onda de de Broglie do elétron com energia cinética máxima.

Resposta

\lambda_{e}=\frac{h}{\sqrt{2 m_{0}\left(\dfrac{h c}{\lambda}-\varphi\right)}}

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