Um determinado plano no espaço carregado com uma densidade rhos=6 nC / m^2 define a interface entre dois dielétricos 1 e 2 , sendo que o vetor barv=2 barax+5 baray+6 baraz é normal a este plano e aponta do meio 2 para o meio 1 . O seguinte campo elétrico uniforme barE1=50 barax+80 baray-15 baraz(V / m) existe no meio 1 , determine: (a) o campo elétrico normal a interface no meio 2 barE2n. (b) o campo elétrico total no meio 2 barE2. © o ângulo alpha2 entre barE2 e a interface. Dados: varepsilonr1=4 e varepsilonr2=7. (2,5pto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um plano carregado com uma densidade de carga superficial rhos=6 nC/m^2 que separa dois materiais dielétricos, chamados de meio 1 e meio 2. A gente tem um campo elétrico no meio 1, barE1=50 barax+80 baray-15 baraz , (V/m), e precisamos encontrar:
(a) O componente normal do campo elétrico no meio 2, 2 barE2n.
(b) O campo elétrico total no meio 2, barE2.
© O ângulo alpha2 entre barE2 e a interface.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos elétricos em interfaces entre materiais dielétricos e as condições de contorno para o campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a componente normal do campo elétrico sofre uma mudança quando passa de um meio para outro. A relação entre as componentes normais dos campos elétricos nos dois meios é dada por:
varepsilon1 E1n - varepsilon2 E2n = rhos
Aqui, varepsilon1 e varepsilon2 são as permissividades dos meios 1 e 2, respectivamente, e E1n e E2n são as componentes normais dos campos elétricos nesses meios.

Passo 3

Sabemos que a permissividade varepsilon de um meio é dada por:
varepsilon = varepsilon0 varepsilonr
Onde varepsilon0 é a permissividade do vácuo ( 8,85 times 10^-12 , F/m) e varepsilonr é a permissividade relativa do material.
Então, temos:
varepsilon1 = 4 varepsilon0 varepsilon2 = 7 varepsilon0

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a componente normal do campo elétrico no meio 1, E1n. A normal ao plano é dada pelo vetor barv=2 barax+5 baray+6 baraz. Para encontrar E1n, fazemos o produto escalar entre barE1 e o vetor normal unitário.
Primeiro, normalizamos barv:
n = barv|barv| = 2 barax+5 baray+6 barazraiz2^2 + 5^2 + 6^2 = 2 barax+5 baray+6 barazraiz4 + 25 + 36 = 2 barax+5 baray+6 barazraiz65
Agora, calculamos E1n:
E1n = barE1 cdot n = 50 times 2 + 80 times 5 + (-15) times 6raiz65 = 100 + 400 - 90raiz65 = 410raiz65 , V/m

Passo 5

Com E1n encontrado, voltamos à equação da condição de contorno:
varepsilon1 E1n - varepsilon2 E2n = rhos
Isolando E2n:
E2n = varepsilon1 E1n - rhosvarepsilon2 = 4 varepsilon0 cdot 410raiz65 - 6 times 10^-97 varepsilon0
Simplificando:
E2n = 4 cdot 410raiz65 - 6 times 10^-9varepsilon07
Como rhos é muito pequena comparada aos termos envolvendo varepsilon0, podemos desprezar a segunda parte:
E2n approx 4 cdot 410raiz657 approx 16407 raiz65 , V/m

Resposta

(a) O componente normal do campo elétrico no meio 2 é aproximadamente E2n approx dfrac16407 raiz65 , V/m.

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