Um determinado produto é vendido em uma caixa fechada, contendo 10 unidades, a preço de \mathrm{R} \ 20,00 . É característica da produção queÉíçã20 %$ destes produtos tenham algum tipo de defeito. Um comprador fez a seguinte proposta: ele escolhe aleatoriamente uma caixa fechada, e, depois de conferir os itens da caixa, paga:
  • R$25,00 se todos os itens estiverem em perfeito estado, sem nenhum defeito;
  • R$20,00 se um ou dois produtos da caixa forem defeituosos;
  • R$15,00 se três ou mais forem defeituosos.
Determine a probabilidade desse comprador gastar menos de \mathrm{R} \ 20$ reais.
a) 0,0567
b) 0,7561
c) 0,5704
d) 0,2013
e) 0,3222

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Uma caixa contém 10 unidades do produto.
  • A cada unidade, independentemente, tem probabilidade de 20\% de estar defeituosa.
  • O comprador paga:
    • R$25,00 se não houver defeitos (ou seja, 0 defeitos);
    • R$20,00 se houver 1 ou 2 defeitos;
    • R$15,00 se houver 3 ou mais defeitos.
      A pergunta é: qual a probabilidade do comprador gastar menos de R$20,00? (ou seja, pagar R$15,00).

Passo 2

Vamos definir a variável aleatória que modela o número de produtos defeituosos na caixa.
Definimos X como o número de itens defeituosos numa caixa de 10 unidades. Cada item tem probabilidade p=0,2 de ser defeituoso e 1-p=0,8 de estar bom. Assumimos as inspeções independentes. Assim X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=10 e p=0,2. A função massa de probabilidade da binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de combinações de n elementos tomados k a k.

Passo 3

Interpretando o evento pedido: o comprador gasta menos de R$20,00 exatamente quando paga R$15,00, ou seja, quando há 3 ou mais defeitos. Em termos de X queremos:
P(\text{gastar menos de R\$20}) = P(X\ge 3).
É mais prático usar o complementar:
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\big).

Passo 4

Calculemos P(X=0) usando a fórmula da binomial com k=0, n=10, p=0,2:
P(X=0)=\binom{10}{0} (0,2)^{0} (0,8)^{10} = 1\cdot 1 \cdot 0,8^{10}.
Vamos calcular 0,8^{10}. Podemos aproveitar potências:
0,8^{2}=0,64,\quad 0,8^{4}=0,4096,\quad 0,8^{5}=0,32768,
portanto
0,8^{10}=(0,8^{5})^{2}=0,32768^{2}=0,1073741824.
Assim
P(X=0)=0,1073741824.

Passo 5

Agora P(X=1):
P(X=1)=\binom{10}{1}(0,2)^{1}(0,8)^{9}=10\cdot 0,2\cdot 0,8^{9}.
Como 0,8^{9}=0,8^{10}/0,8=0,1073741824/0,8=0,134217728, temos
P(X=1)=10\cdot 0,2\cdot 0,134217728 = 2\cdot 0,134217728 = 0,268435456.

Passo 6

Agora P(X=2):
P(X=2)=\binom{10}{2}(0,2)^{2}(0,8)^{8}=45\cdot 0,04\cdot 0,8^{8}.
Temos 0,8^{8}=0,8^{10}/0,8^{2}=0,1073741824/0,64=0,16777216. Então
P(X=2)=45\cdot 0,04\cdot 0,16777216 = 1,8\cdot 0,16777216 = 0,301989888.

Passo 7

Somamos as probabilidades até 2 defeitos e subtraímos de 1:
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=0,1073741824+0,268435456+0,301989888=0,6777995264.
Logo
P(X\ge 3)=1-0,6777995264=0,3222004736\approx 0,3222.

Passo 8

Concluímos que a probabilidade do comprador gastar menos de R$20,00 é aproximadamente 0,3222, que corresponde à alternativa (e).

Resposta

e) 0,3222

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