Um determinado produto é vendido em uma caixa fechada, contendo 10 unidades, a preço de
20,00
20 %$ destes produtos tenham algum tipo de defeito. Um comprador fez a seguinte proposta: ele escolhe aleatoriamente uma caixa fechada, e, depois de conferir os itens da caixa, paga:
- R$25,00 se todos os itens estiverem em perfeito estado, sem nenhum defeito;
- R$20,00 se um ou dois produtos da caixa forem defeituosos;
- R$15,00 se três ou mais forem defeituosos.
Determine a probabilidade desse comprador gastar menos de
20$ reais.
a) 0,0567
b) 0,7561
c) 0,5704
d) 0,2013
e) 0,3222
a) 0,0567
b) 0,7561
c) 0,5704
d) 0,2013
e) 0,3222
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Uma caixa contém
unidades do produto. - A cada unidade, independentemente, tem probabilidade de
de estar defeituosa. - O comprador paga:
- R$25,00 se não houver defeitos (ou seja,
defeitos); - R$20,00 se houver
ou defeitos; - R$15,00 se houver
ou mais defeitos.
A pergunta é: qual a probabilidade do comprador gastar menos de R$20,00? (ou seja, pagar R$15,00).
- R$25,00 se não houver defeitos (ou seja,
Passo 2
Vamos definir a variável aleatória que modela o número de produtos defeituosos na caixa.
Definimos como o número de itens defeituosos numa caixa de
unidades. Cada item tem probabilidade
de ser defeituoso e
de estar bom. Assumimos as inspeções independentes. Assim
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. A função massa de probabilidade da binomial é:
Definimos
onde
é o número de combinações de
elementos tomados
a
.
Passo 3
Interpretando o evento pedido: o comprador gasta menos de R$20,00 exatamente quando paga R$15,00, ou seja, quando há
ou mais defeitos. Em termos de
queremos:
É mais prático usar o complementar:
Passo 4
Calculemos
usando a fórmula da binomial com
,
,
:
Vamos calcular
. Podemos aproveitar potências:
portanto
Assim
Passo 5
Agora
:
Como
, temos
Passo 6
Agora
:
Temos
. Então
Passo 7
Somamos as probabilidades até
defeitos e subtraímos de
:
Logo
Passo 8
Concluímos que a probabilidade do comprador gastar menos de R$20,00 é aproximadamente
, que corresponde à alternativa (e).
Resposta
e) 0,3222