O número de acidentes pequenos durante uma partida de futebol é uma v.a. de Poisson. Sabe-se, de estatísticas anteriores do Campeonato Brasileiro de Futebol, que ocorrem em média, 1140 pequenos acidentes durante todo o campeonato. Qual a probabilidade de ocorrerem, no máximo, dois acidentes durante uma partida?
a) 0,0498
b) 0,3734
c) 0,5768
d) 0,4232
e) 0,6266
a) 0,0498
b) 0,3734
c) 0,5768
d) 0,4232
e) 0,6266
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A variável aleatória que conta o número de pequenos acidentes durante uma partida é do tipo Poisson.
- Das estatísticas anteriores do Campeonato Brasileiro, sabe-se que ocorrem, em média,
pequenos acidentes durante todo o campeonato. - A pergunta: qual a probabilidade de ocorrerem, no máximo, dois acidentes durante uma partida? Ou seja, queremos
para a variável Poisson por partida.
Observação importante (assunção usada aqui): vou assumir a estrutura usual do Campeonato Brasileiro de Série A com
times em turno e returno, o que gera
partidas no campeonato. Com essa informação, podemos transformar a média total do campeonato em média por partida. Se você souber um número diferente de partidas, o procedimento é o mesmo trocando
pelo número correto.
Passo 2
Calcular a média (parâmetro) da distribuição de Poisson por partida.
Explicação rápida do que é essa média: na Poisson o parâmetro
representa a média (esperança) do número de ocorrências no intervalo considerado — aqui, no intervalo “uma partida”. Temos a média total no campeonato e dividimos pelo número de partidas para obter a média por partida.
Cálculo:
Portanto, por partida a variável Poisson tem parâmetro
.
Passo 3
Apresentar a fórmula da probabilidade da Poisson e interpretar cada símbolo.
Fórmula (probabilidade de exatamente
ocorrências):
onde
-
é a v.a. Poisson (número de acidentes em uma partida), -
é a média por partida ( ), -
é o número de acidentes que queremos a probabilidade, -
é o fatorial de (por exemplo, ), -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Queremos
.
Passo 4
Calcular cada termo
,
e
usando
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Somar os termos para obter
e avaliar numericamente.
Somando:
Avaliação numérica (usar aproximação
):
Arredondando para quatro casas decimais (como nas alternativas):
Passo 6
Comparar com as alternativas fornecidas e concluir a opção correta.
A alternativa que corresponde a
é a letra d).
Resposta
d) 0,4232