O número de acidentes pequenos durante uma partida de futebol é uma v.a. de Poisson. Sabe-se, de estatísticas anteriores do Campeonato Brasileiro de Futebol, que ocorrem em média, 1140 pequenos acidentes durante todo o campeonato. Qual a probabilidade de ocorrerem, no máximo, dois acidentes durante uma partida?
a) 0,0498
b) 0,3734
c) 0,5768
d) 0,4232
e) 0,6266

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A variável aleatória que conta o número de pequenos acidentes durante uma partida é do tipo Poisson.
  • Das estatísticas anteriores do Campeonato Brasileiro, sabe-se que ocorrem, em média, 1140 pequenos acidentes durante todo o campeonato.
  • A pergunta: qual a probabilidade de ocorrerem, no máximo, dois acidentes durante uma partida? Ou seja, queremos P(X\le 2) para a variável Poisson por partida.
Observação importante (assunção usada aqui): vou assumir a estrutura usual do Campeonato Brasileiro de Série A com 20 times em turno e returno, o que gera 380 partidas no campeonato. Com essa informação, podemos transformar a média total do campeonato em média por partida. Se você souber um número diferente de partidas, o procedimento é o mesmo trocando 380 pelo número correto.

Passo 2

Calcular a média (parâmetro) da distribuição de Poisson por partida.
Explicação rápida do que é essa média: na Poisson o parâmetro \lambda representa a média (esperança) do número de ocorrências no intervalo considerado — aqui, no intervalo “uma partida”. Temos a média total no campeonato e dividimos pelo número de partidas para obter a média por partida.
Cálculo:
\lambda=\frac{1140}{380}=3.
Portanto, por partida a variável Poisson tem parâmetro \lambda=3.

Passo 3

Apresentar a fórmula da probabilidade da Poisson e interpretar cada símbolo.
Fórmula (probabilidade de exatamente k ocorrências):
P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!},
onde
  • X é a v.a. Poisson (número de acidentes em uma partida),
  • \lambda é a média por partida ( \lambda=3),
  • k é o número de acidentes que queremos a probabilidade,
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 2!=2\cdot1=2),
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828\ldots).
Queremos P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).

Passo 4

Calcular cada termo P(X=0), P(X=1) e P(X=2) usando \lambda=3.
Para k=0:
P(X=0)=\frac{e^{-3}3^{0}}{0!}=e^{-3}\cdot\frac{1}{1}=e^{-3}.
Para k=1:
P(X=1)=\frac{e^{-3}3^{1}}{1!}=e^{-3}\cdot 3.
Para k=2:
P(X=2)=\frac{e^{-3}3^{2}}{2!}=e^{-3}\cdot\frac{9}{2}=e^{-3}\cdot 4{,}5.

Passo 5

Somar os termos para obter P(X\le 2) e avaliar numericamente.
Somando:
P(X\le 2)=e^{-3}\bigl(1+3+4{,}5\bigr)=e^{-3}\cdot 8{,}5.
Avaliação numérica (usar aproximação e^{-3}\approx 0{,}04978707):
P(X\le 2)\approx 0{,}04978707\times 8{,}5 \approx 0{,}4231901\ldots
Arredondando para quatro casas decimais (como nas alternativas):
P(X\le 2)\approx 0{,}4232.

Passo 6

Comparar com as alternativas fornecidas e concluir a opção correta.
A alternativa que corresponde a 0{,}4232 é a letra d).

Resposta

d) 0,4232

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