Os registros de trânsito indicam que há uma probabilidade de 0,0001 de um automóvel acusar defeito durante a travessia de um túnel. Determine a probabilidade de que, em 8000 automóveis, ao menos um acuse defeito durante a travessia do túnel.
a) 0,5507
b) 0,0003
c) 0,9997
d) 0,4493
e) 0,2753

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações: a probabilidade de um automóvel acusar defeito durante a travessia do túnel é p=0,0001. Vamos observar n=8000 automóveis. Pergunta: qual é a probabilidade de que, entre esses 8000 automóveis, ao menos um acuse defeito durante a travessia do túnel?

Passo 2

Como traduzir “ao menos um” em probabilidade? Se definirmos X como o número de automóveis com defeito entre os 8000, então queremos P(X\ge 1). É muito comum usar o complemento: “ao menos um” é o oposto de “nenhum”. Logo
P(X\ge 1)=1-P(X=0).
Vou usar isso porque calcular P(X=0) costuma ser muito mais simples.

Passo 3

Qual é a distribuição de X? Cada automóvel independentemente tem probabilidade p de dar defeito; com n observações isso é modelado pela distribuição binomial. Para X\sim \text{Bin}(n,p) temos a probabilidade de exatamente k defeitos
P(X=k)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{\,n-k}.
No caso k=0 isso simplifica muito porque \binom{n}{0}=1 e p^0=1, então
P(X=0)=(1-p)^n.

Passo 4

Substituindo os números do enunciado:
P(X=0)=(1-p)^n=(1-0,0001)^{8000}=(0,9999)^{8000}.
Calcular (0,9999)^{8000} diretamente sem calculadora dá trabalho, então vamos usar duas maneiras equivalentes e didáticas: (A) usar logaritmo para avaliar a potência, e (B) usar a aproximação de Poisson (válida quando n é grande e p é pequeno).

Passo 5

Método (A) — usando logaritmos (explicando a ideia): para números muito próximos de 1, é útil trabalhar com logaritmos porque
\ln\big((0,9999)^{8000}\big)=8000\ln(0,9999).
Para x pequeno temos \ln(1-x)\approx -x (primeira ordem da expansão de Taylor). Aqui x=0,0001, então
\ln(0,9999)=\ln(1-0,0001)\approx -0,0001.
Multiplicando por 8000 dá aproximadamente -0,8. Assim
(0,9999)^{8000}\approx e^{-0,8}\approx 0,4493.
Isso nos dá uma boa estimativa de P(X=0).

Passo 6

Método (B) — aproximação por Poisson (explicando quando e por que funciona): quando n é grande e p é pequeno, com \lambda=np moderado, a binomial \text{Bin}(n,p) é bem aproximada por \text{Poisson}(\lambda) com \lambda=np. Aqui
\lambda = n p = 8000\cdot 0,0001 = 0,8.
Para Y\sim\text{Poisson}(\lambda) temos P(Y=0)=e^{-\lambda}. Então a aproximação dá
P(X=0)\approx e^{-0,8}\approx 0,4493.
Repare que isso coincide com o resultado obtido pelo método dos logaritmos — ótimo sinal de que a aproximação é boa.

Passo 7

Agora voltamos ao objetivo: P(X\ge 1)=1-P(X=0). Usando o valor aproximado de P(X=0) obtemos
P(X\ge 1)\approx 1-e^{-0,8}\approx 1-0,449329\ldots \approx 0,550671\ldots
Arredondando para quatro casas decimais (como nas alternativas), isso é 0,5507.

Passo 8

Interpretação final: a probabilidade de que, em 8000 automóveis, ao menos um acuse defeito é aproximadamente 0,5507. Das alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

\text{a) } 0,5507

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