Os registros de trânsito indicam que há uma probabilidade de 0,0001 de um automóvel acusar defeito durante a travessia de um túnel. Determine a probabilidade de que, em 8000 automóveis, ao menos um acuse defeito durante a travessia do túnel.
a) 0,5507
b) 0,0003
c) 0,9997
d) 0,4493
e) 0,2753
a) 0,5507
b) 0,0003
c) 0,9997
d) 0,4493
e) 0,2753
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações: a probabilidade de um automóvel acusar defeito durante a travessia do túnel é
. Vamos observar
automóveis. Pergunta: qual é a probabilidade de que, entre esses
automóveis, ao menos um acuse defeito durante a travessia do túnel?
Passo 2
Como traduzir “ao menos um” em probabilidade? Se definirmos
como o número de automóveis com defeito entre os
, então queremos
. É muito comum usar o complemento: “ao menos um” é o oposto de “nenhum”. Logo
Vou usar isso porque calcular
costuma ser muito mais simples.
Passo 3
Qual é a distribuição de
? Cada automóvel independentemente tem probabilidade
de dar defeito; com
observações isso é modelado pela distribuição binomial. Para
temos a probabilidade de exatamente
defeitos
No caso
isso simplifica muito porque
e
, então
Passo 4
Substituindo os números do enunciado:
Calcular
diretamente sem calculadora dá trabalho, então vamos usar duas maneiras equivalentes e didáticas: (A) usar logaritmo para avaliar a potência, e (B) usar a aproximação de Poisson (válida quando
é grande e
é pequeno).
Passo 5
Método (A) — usando logaritmos (explicando a ideia): para números muito próximos de 1, é útil trabalhar com logaritmos porque
Para
pequeno temos
(primeira ordem da expansão de Taylor). Aqui
, então
Multiplicando por
dá aproximadamente
. Assim
Isso nos dá uma boa estimativa de
.
Passo 6
Método (B) — aproximação por Poisson (explicando quando e por que funciona): quando
é grande e
é pequeno, com
moderado, a binomial
é bem aproximada por
com
. Aqui
Para
temos
. Então a aproximação dá
Repare que isso coincide com o resultado obtido pelo método dos logaritmos — ótimo sinal de que a aproximação é boa.
Passo 7
Agora voltamos ao objetivo:
. Usando o valor aproximado de
obtemos
Arredondando para quatro casas decimais (como nas alternativas), isso é
.
Passo 8
Interpretação final: a probabilidade de que, em
automóveis, ao menos um acuse defeito é aproximadamente
. Das alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (a).