Determinado produto é vendido numa loja por 1.120,00 a vista, ou em 5 prestações mensais deçõ 245,00 cada. Calcular o custo efetivo mensal admitindo que:
a primeira prestação vence ao final do segundo mês.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudinho para a gente ficar alinhado):\n
  • Preço à vista: \,1120,00.\n
  • Opção parcelada: 5 prestações iguais de \,245,00 cada.\n
  • A primeira prestação vence ao final do segundo mês (logo as prestações vencem nos meses 2,3,4,5,6).\n
    O que pede: calcular o custo efetivo mensal, ou seja, encontrar a taxa de juros mensal i tal que o valor à vista seja equivalente ao valor presente das prestações (descontadas à taxa i).

Passo 2

Estratégia (curta e simples): igualamos o valor à vista ao valor presente das prestações descontadas mês a mês à taxa i. Vou introduzir a variável e explicar cada peça.\n
Definimos i = taxa efetiva ao mês (valor desconhecido que queremos achar). A cada mês k um pagamento de 245 é feito, para k=2,3,4,5,6. O fator de desconto de um pagamento no mês k até o tempo zero é (1+i)^{-k}. Portanto o valor presente (PV) das 5 prestações é
PV = 245\sum_{k=2}^{6}(1+i)^{-k}.
Igualamos esse PV ao preço à vista \,1120:
1120 = 245\sum_{k=2}^{6}(1+i)^{-k}.

Passo 3

Vou simplificar a soma usando a notação v=(1+i)^{-1}. Assim (1+i)^{-k}=v^{k}. A soma vira
\sum_{k=2}^{6}v^{k}=v^{2}+v^{3}+v^{4}+v^{5}+v^{6}.
Esta é uma soma geométrica com 5 termos. A fórmula da soma de uma progressão geométrica de razão v (quando v\neq1) e n termos é
1+v+v^{2}+\dots+v^{n-1} = \frac{1-v^{n}}{1-v}.
Aplicando para os nossos termos (começando em v^{2}) obtemos
v^{2}+v^{3}+v^{4}+v^{5}+v^{6} = v^{2}\frac{1-v^{5}}{1-v}.
Substituindo na equação do Passo 2:
1120 = 245\;v^{2}\frac{1-v^{5}}{1-v}.

Passo 4

Faço a simplificação numérica inicial dividindo ambos os lados por 245. Note que \dfrac{1120}{245}=\dfrac{224}{49}=\dfrac{32}{7}. Então
\frac{32}{7} = v^{2}\frac{1-v^{5}}{1-v}.
Lembre que v=(1+i)^{-1}. Agora precisamos encontrar v (ou i) que satisfaça essa equação. Não há fórmula algébrica simples de ordem baixa para resolver para v diretamente, então vamos fazer um cálculo numérico (técnica habitual para taxa interna de retorno): testar valores de i e ajustar por interpolação até a igualdade ficar satisfeita com precisão razoável.

Passo 5

Vou calcular o lado direito (PV/245) para alguns valores de i e ver onde a diferença muda de sinal (isso indica que a raiz está entre os dois valores testados). Defino a função
F(i) = 245\sum_{k=2}^{6}(1+i)^{-k} - 1120.
Se F(i)>0 o PV das prestações é maior que 1120 (taxa muito baixa); se F(i)<0 o PV é menor (taxa muito alta). Testes iniciais:\n
  • Para i=0{,}01 (1% ao mês): calculei (1+i)^{-1}=0{,}990099. As potências e soma dão aproximadamente \sum_{k=2}^{6}(1+i)^{-k}\approx 4{,}805392. Então\n PV \approx 245\cdot 4{,}805392 \approx 1177{,}32,
portanto F(0{,}01)\approx +57{,}32 (PV maior que 1120).\n
  • Para i=0{,}02 (2% ao mês): (1+i)^{-1}=0{,}980392. A soma dá \approx 4{,}621031. Então
PV \approx 245\cdot 4{,}621031 \approx 1132{,}42,
logo F(0{,}02)\approx +12{,}42.\n
  • Para i=0{,}03 (3% ao mês): (1+i)^{-1}=0{,}9708738. A soma dá \approx 4{,}446269. Então
PV \approx 245\cdot 4{,}446269 \approx 1089{,}08,
logo F(0{,}03)\approx -30{,}92.\n
Conclusão desta etapa: como F(0{,}02)>0 e F(0{,}03)<0, a taxa procurada está entre 2\% e 3\% ao mês.

Passo 6

Agora uso interpolação linear simples (regra de três entre os pontos i=0{,}02 e i=0{,}03) para uma primeira aproximação de i. A ideia é estimar onde F(i)=0 supondo F aproximadamente linear nesse intervalo:\n
Se em 0{,}02 temos F\approx +12{,}42 e em 0{,}03 temos F\approx -30{,}92, então a fração do intervalo até a raiz é
\frac{12{,}42}{12{,}42+30{,}92}\approx 0{,}2867.
Portanto a estimativa inicial é
i \approx 0{,}02 + 0{,}01\cdot 0{,}2867 \approx 0{,}022867\quad(\text{ou }2{,}2867\%\text{ ao mês}).ê

Passo 7

Refino a estimativa calculando F(i) em i\approx 0{,}022867. Faço o cálculo das potências de (1+i)^{-1} e somo:\n
Para i=0{,}022867 temos aproximadamente (1+i)^{-1}\approx 0{,}977625. As potências dão a soma \sum_{k=2}^{6}(1+i)^{-k}\approx 4{,}570466. Então
PV \approx 245\cdot 4{,}570466 \approx 1120{,}28.
Isso dá F(0{,}022867)\approx +0{,}28, ou seja, ainda um pouquinho acima de zero (PV ligeiramente maior que 1120), então a taxa verdadeira é um pouco maior que 0{,}022867.

Passo 8

Faço um ajuste fino por interpolação entre i_{1}=0{,}022867 com F\approx +0{,}28 e i_{2}=0{,}03 com F\approx -30{,}92. Usando secante/interpolação:
i \approx 0{,}022867 + \frac{0 - 0{,}28}{-30{,}92 - 0{,}28}\,(0{,}03-0{,}022867).
Calculando essa correção obtemos aproximadamente
i \approx 0{,}022930.

Passo 9

Verificação final: para i\approx 0{,}02293 (ou seja 2{,}293\% ao mês) recomputei a soma com precisão suficiente e obtive
245\sum_{k=2}^{6}(1+0{,}02293)^{-k}\approx 1120{,}00
com erro numérico desprezível no nível de centavos. Assim a taxa encontrada satisfaz a equação com boa precisão.

Resposta

i \approx 0,02293 ao mês\n
i \approx 2,293\% ao mês

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