Determinado produto é vendido numa loja por
cada. Calcular o custo efetivo mensal admitindo que:
a primeira prestação vence ao final do segundo mês.
a primeira prestação vence ao final do segundo mês.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudinho para a gente ficar alinhado):\n
- Preço à vista:
.\n - Opção parcelada:
prestações iguais de cada.\n - A primeira prestação vence ao final do segundo mês (logo as prestações vencem nos meses
).\n
O que pede: calcular o custo efetivo mensal, ou seja, encontrar a taxa de juros mensaltal que o valor à vista seja equivalente ao valor presente das prestações (descontadas à taxa ).
Passo 2
Estratégia (curta e simples): igualamos o valor à vista ao valor presente das prestações descontadas mês a mês à taxa
. Vou introduzir a variável e explicar cada peça.\n
Definimos = taxa efetiva ao mês (valor desconhecido que queremos achar). A cada mês
um pagamento de
é feito, para
. O fator de desconto de um pagamento no mês
até o tempo zero é
. Portanto o valor presente (PV) das 5 prestações é
Definimos
Igualamos esse PV ao preço à vista
:
Passo 3
Vou simplificar a soma usando a notação
. Assim
. A soma vira
Esta é uma soma geométrica com 5 termos. A fórmula da soma de uma progressão geométrica de razão
(quando
) e
termos é
Aplicando para os nossos termos (começando em
) obtemos
Substituindo na equação do Passo 2:
Passo 4
Faço a simplificação numérica inicial dividindo ambos os lados por
. Note que
. Então
Lembre que
. Agora precisamos encontrar
(ou
) que satisfaça essa equação. Não há fórmula algébrica simples de ordem baixa para resolver para
diretamente, então vamos fazer um cálculo numérico (técnica habitual para taxa interna de retorno): testar valores de
e ajustar por interpolação até a igualdade ficar satisfeita com precisão razoável.
Passo 5
Vou calcular o lado direito (PV/245) para alguns valores de
e ver onde a diferença muda de sinal (isso indica que a raiz está entre os dois valores testados). Defino a função
Se
o PV das prestações é maior que 1120 (taxa muito baixa); se
o PV é menor (taxa muito alta). Testes iniciais:\n
- Para
(1% ao mês): calculei . As potências e soma dão aproximadamente . Então\n
portanto
(PV maior que 1120).\n
- Para
(2% ao mês): . A soma dá . Então
logo
.\n
- Para
(3% ao mês): . A soma dá . Então
logo
.\n
Conclusão desta etapa: como e
, a taxa procurada está entre
e
ao mês.
Conclusão desta etapa: como
Passo 6
Agora uso interpolação linear simples (regra de três entre os pontos
e
) para uma primeira aproximação de
. A ideia é estimar onde
supondo
aproximadamente linear nesse intervalo:\n
Se em temos
e em
temos
, então a fração do intervalo até a raiz é
Se em
Portanto a estimativa inicial é
Passo 7
Refino a estimativa calculando
em
. Faço o cálculo das potências de
e somo:\n
Para temos aproximadamente
. As potências dão a soma
. Então
Para
Isso dá
, ou seja, ainda um pouquinho acima de zero (PV ligeiramente maior que 1120), então a taxa verdadeira é um pouco maior que
.
Passo 8
Faço um ajuste fino por interpolação entre
com
e
com
. Usando secante/interpolação:
Calculando essa correção obtemos aproximadamente
Passo 9
Verificação final: para
(ou seja
ao mês) recomputei a soma com precisão suficiente e obtive
com erro numérico desprezível no nível de centavos. Assim a taxa encontrada satisfaz a equação com boa precisão.