Um determinado pulso de onda transversal que viaja ao longo de uma corda é descrito pela equação de onda dependente do tempo f(x, t)=A e^-(kappa x-omega t)^2, com número de onda kappa=2 pi m^-1 e frequência angular omega=2 pi s^-1. Mostre que a função dada acima satisfaz a equação de onda.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,t)=Aexpl[-(kappa x-omega t)^2r]
com kappa=2pirm,m^-1 e omega=2pirm,s^-1, e pede para mostrar que ela satisfaz a equação de onda unidimensional
partial^2fpartial x^2 =1v^2;partial^2fpartial t^2,
onde a velocidade de onda é v=omega/kappa.

Passo 2

Definimos a variável auxiliar
u=kappa x-omega t,
de modo que f=A,e^-u^2. Aplicando a regra da cadeia para derivar em x:
partial fpartial x =dfdu,partial upartial x =(-2uA e^-u^2),kappa =-2kappa uA e^-u^2
Derivando novamente em x:
partial^2fpartial x^2 =partialpartial xl(-2kappa uA e^-u^2r) =kappa,partialpartial ul(-2uA e^-u^2r) =Akappa^2e^-u^2(4u^2-2)

Passo 3

Agora derivamos em t, sabendo que partial u/partial t=-omega:
partial fpartial t =dfdu,partial upartial t =(-2uA e^-u^2)(-,omega) =2omega uA e^-u^2
Derivando novamente em t:
partial^2fpartial t^2 =partialpartial tl(2omega uA e^-u^2r) =omega,partialpartial ul(2uA e^-u^2r) =Aomega^2e^-u^2(4u^2-2)

Passo 4

Como a velocidade de fase é
v=omegakappa,
temos
1v^2 =kappa^2omega^2,
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1v^2;partial^2fpartial t^2 =kappa^2omega^2 l(Aomega^2e^-u^2(4u^2-2)r) =Akappa^2e^-u^2(4u^2-2) =partial^2fpartial x^2
Isso mostra que f(x,t) satisfaz a equação de onda.

Resposta

A função f(x,t)=A expl[-(kappa x-omega t)^2r] satisfaz
partial^2fpartial x^2 =1v^2;partial^2fpartial t^2
com v=omega/kappa=1rm,m/s.

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