Em determinado setor de uma loja de departamentos, o número de produtos vendidos em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória P com a seguinte distribuição de probabilidades (esses números foram obtidos dos resultados de vários anos de estudo):
n ^circ de produtos 0 1 2 3 4 5 6
Probabilidade de venda 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05
Cada vendedor recebe comissões de venda, distribuídas da seguinte forma: se ele vende até 2 produtos em um dia, ele ganha uma comissão de R por produto vendido. A partir da terceira venda, a comissão passa para R por produto vendido A partir da terceira venda, a comissão passa para R por produto. Qual é o número médio de produtos vendidos por cada vendedor e qual a comissão média de cada um deles?

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente tem: um vendedor vende um número de produtos P num dia e isso obedece a uma distribuição de probabilidade dada (de 0 a 6 produtos, com certas chances). A gente precisa achar duas coisas:
  1. o número médio de produtos vendidos, isto é a esperança matemática E[P], e
  2. a comissão média que ele ganha por dia, sabendo que ele recebe R$ 10 por produto até o segundo, e R$ 50 por cada produto a partir do terceiro.
O conteúdo aqui é cálculo de esperança de variável aleatória discreta e manipular uma função de comissão em pedaços (piecewise). Vamos precisar só da fórmula
10 por produto até o segundo, e R

Passo 2

Calcular E[P].
Pra achar a média de P, a gente faz:
E[P]=sumk=0^6kcdot P(P=k),
Substituindo os dados:
- 0cdot0,10=0
- 1cdot0,40=0,40
- 2cdot0,20=0,40
- 3cdot0,10=0,30
- 4cdot0,10=0,40
- 5cdot0,05=0,25
- 6cdot0,05=0,30
Somando tudo:
E[P]=0+0,40+0,40+0,30+0,40+0,25+0,30=2,05,

Passo 3

Agora a comissão. Definimos uma função C(P) assim:
  • Se P<=2, ele ganha R$ 10 por produto, ou seja 10 por produto, ou seja .
  • Se - Se , ele ganha R$ 10 nos dois primeiros (total R$ 20) e R$ 50 para cada produto extra: , e<= ganha R
Vamos listar 20) e R pra C(P)=20+50,(P-2)para P>=3, :
  • C(k)
  • k=0,dots,6
  • C(0)=0
  • C(1)=10
  • C(2)=20
  • C(3)=20+50cdot1=70
  • C(4)=20+50cdot2=120

Passo 4

Calcular a comissão média E[C]=sumk C(k),P(P=k). Montando termo a termo:
  • 0cdot0,10=0
  • 10cdot0,40=4
  • 20cdot0,20=4
  • 70cdot0,10=7
  • 120cdot0,10=12
  • 170cdot0,05=8,5
  • 220cdot0,05=11
Somando tudo dá:
E[C]=0+4+4+7+12+8,5+11=46,5,

Resposta

Número médio de produtos vendidos: E[P]=2,05 produtos.
Comissão média por dia: E[C]=R.

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