Em determinado setor de uma loja de departamentos, o número de produtos vendidos em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória
com a seguinte distribuição de probabilidades (esses números foram obtidos dos resultados de vários anos de estudo):
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Probabilidade de venda | 0,1 | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,05 | 0,05 |
Cada vendedor recebe comissões de venda, distribuídas da seguinte forma: se ele vende até 2 produtos em um dia, ele ganha uma comissão de
por produto vendido. A partir da terceira venda, a comissão passa para R
por produto. Qual é o número médio de produtos vendidos por cada vendedor e qual a comissão média de cada um deles?
Passo 1
Beleza, aqui o que a gente tem: um vendedor vende um número de produtos
num dia e isso obedece a uma distribuição de probabilidade dada (de 0 a 6 produtos, com certas chances). A gente precisa achar duas coisas:
- o número médio de produtos vendidos, isto é a esperança matemática
, e - a comissão média que ele ganha por dia, sabendo que ele recebe R$ 10 por produto até o segundo, e R$ 50 por cada produto a partir do terceiro.
O conteúdo aqui é cálculo de esperança de variável aleatória discreta e manipular uma função de comissão em pedaços (piecewise). Vamos precisar só da fórmula
Passo 2
Calcular
.
Pra achar a média de , a gente faz:
Pra achar a média de
Substituindo os dados:
-
-
-
-
-
-
-
Somando tudo:
Passo 3
Agora a comissão. Definimos uma função
assim:
- Se
, ele ganha R$ 10 por produto, ou seja . - Se
, ele ganha R$ 10 nos dois primeiros (total R$ 20) e R$ 50 para cada produto extra:
Vamos listar
pra
:
Passo 4
Calcular a comissão média
. Montando termo a termo:
Somando tudo dá:
Resposta
Número médio de produtos vendidos:
produtos.
Comissão média por dia: .
Comissão média por dia: