A probabilidade de um atirador acertar o alvo é de 25 %. Se ele atirar cinco vezes, qual a probabilidade dele acertar dois tiros.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: o enunciado diz que um atirador acerta o alvo com probabilidade de 25 % (ou seja, P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^,n-k ), ele dá 5 tiros e a gente quer saber qual a chance de ele acertar exatamente 2 vezes.
Conteúdo: probabilidade binomial.
O que vamos precisar:
  1. Entender o que é distribuição binomial.
  2. Saber usar a fórmula
  1. Calcular combinações (fatorial).

Passo 2

Explicando a teoria: quando temos um número fixo de tentativas independentes (aqui, P(X=2) = ? tiros) e cada tentativa tem chance de sucesso (acerto) ou de fracasso (erro), dizemos que a variável aleatória “número de acertos” segue uma distribuição binomial, denotada por .
Estamos procurando

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula da binomial:
P(X=2) ;=;binom52;p^2;(1-p)^5-2
Aqui:
  • , número de tiros.
  • , número de acertos desejados.
  • .
  • .

Passo 4

Calcular a combinação binom52 = 5!2!,(5-2)! = 5times4times3times2times1(2times1),(3times2times1) .
Por definição:
binom52 = 5times42times1 = 10
Cancelando:

Passo 5

Agora as potências:
p^2 = (0,25)^2 = 0,0625, (1-p)^3 = (0,75)^3 = 0,75 times 0,75 times 0,75 = 0,421875

Passo 6

Multiplicando tudo:
P(X=2) = 10 times 0,0625 times 0,421875
Primeiro .
Depois .

Resposta

A probabilidade de ele acertar exatamente 2 tiros em 5 é
P(X=2) = 0,263671875 (approx 26,37%)

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