Um determinado sinal f(t)=e^{-3 t} u(t). Determine f(t) e o espectro de frequência (a transformada de Fourier) de:
l(t)=f(t) \cdot \cos (300 t)

Passo 1

O enunciado define o sinal de interesse como
f(t)=e^{-3t}\,u(t),
onde u(t) é o degrau de Heaviside, e pede para encontrarmos o novo sinal
l(t)=f(t)\,\cos(300t)
e calcular sua transformada de Fourier. Para isso iremos usar a transformada de Fourier de f(t) e a propriedade de modulação (multiplicação por cosseno em tempo gera deslocamento em frequência).

Passo 2

Primeiro escrevemos
l(t)=e^{-3t}\,u(t)\,\cos(300t).
Usamos a identidade
\cos(300t)=\frac{e^{j300t}+e^{-j300t}}{2},
logo
l(t)=\frac{e^{-3t}\,u(t)\,e^{j300t} + e^{-3t}\,u(t)\,e^{-j300t}}{2}.

Passo 3

A transformada de Fourier de
f(t)=e^{-3t}\,u(t)
é
F(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-3t}\,e^{-j\omega t}\,dt =\frac{1}{3+j\omega}.

Passo 4

Aplicamos agora a propriedade de modulação: se temos e^{\pm j\omega_0 t}f(t), sua transformada é F(\omega\mp\omega_0). Assim
\mathcal{F}\{e^{-3t}u(t)\,e^{j300t}\}=F(\omega-300) \quad\text{e}\quad \mathcal{F}\{e^{-3t}u(t)\,e^{-j300t}\}=F(\omega+300).

Passo 5

Como l(t) é a média desses dois termos dividida por 2, a sua transformada é
L(\omega) =\frac{1}{2}\bigl[F(\omega-300)+F(\omega+300)\bigr] =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3+j(\omega-300)}+\frac{1}{3+j(\omega+300)}\right].

Resposta

O sinal é
l(t)=e^{-3t}\,u(t)\,\cos(300t),
e sua transformada de Fourier é
L(\omega) =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3+j(\omega-300)}+\frac{1}{3+j(\omega+300)}\right].

Exercícios relacionados