Um determinado sinal f(t)=e^{-3 t} u(t). Determine f(t) e o espectro de frequência (a transformada de Fourier) de:
k(t)=f(t) \cdot e^{i 4 t}

Passo 1

O enunciado diz que temos um sinal
f(t)=e^{-3t}\,u(t)
onde u(t) é a função degrau de Heaviside. Definimos
k(t)=f(t)\,e^{i4t}.
Queremos expressar k(t) explicitamente e calcular sua transformada de Fourier K(\omega). Vamos usar a propriedade de modulação em sinais e o cálculo direto de transformadas.

Passo 2

Escrevendo k(t) de forma explícita, temos para todo t:
k(t)=e^{-3t}\,u(t)\,\cdot e^{i4t} =e^{(-3 + i4)\,t}\,u(t).

Passo 3

Primeiro calculamos a transformada de Fourier de
f(t)=e^{-3t}\,u(t).
Por definição,
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-3t}\,e^{-i\omega t}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(3 + i\omega)\,t}\,dt.
Como \Re(3 + i\omega)=3>0, essa integral converge e vale
F(\omega) =\left[\frac{e^{-(3 + i\omega)\,t}}{-(3 + i\omega)}\right]_{0}^{\infty} =\frac{1}{3 + i\omega}.

Passo 4

Agora usamos a propriedade de modulação: multiplicar f(t) por e^{i\Omega_{0}t} desloca F(\omega) em frequência, ou seja,
\mathcal{F}\{f(t)\,e^{i\Omega_{0}t}\}=F(\omega-\Omega_{0}).
Aqui \Omega_{0}=4. Logo,
K(\omega)=F(\omega-4) =\frac{1}{3 + i(\omega-4)}.
Alternativamente, poderíamos ter feito diretamente
K(\omega) =\int_{0}^{\infty}e^{(-3+i4)t}\,e^{-i\omega t}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-[3 + i(\omega-4)]t}\,dt =\frac{1}{3 + i(\omega-4)}.

Resposta

k(t)=e^{(-3 + i4)\,t}\,u(t).
K(\omega)=\frac{1}{3 + i(\omega-4)}.

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