Um determinado sinal f(t)=e^{-3 t} u(t). Determine f(t) e o espectro de frequência (a transformada de Fourier) de:
g(t)=f(t-5)

Passo 1

O enunciado fornece
f(t)=e^{-3t}\,u(t)
e define
g(t)=f(t-5).
O conteúdo envolve deslocamento no tempo e transformada de Fourier. Vamos primeiro escrever explicitamente g(t) e depois usar a propriedade de deslocamento para obter seu espectro G(\omega).

Passo 2

Para obter g(t), fazemos a substituição t\to t-5 em f(t). Assim,
g(t)=f(t-5)=e^{-3\,(t-5)}\,u(t-5).
Desenvolvendo o expoente,
g(t)=e^{-3t+15}\,u(t-5).

Passo 3

Recordando que a transformada de Fourier de
f(t)=e^{-3t}\,u(t)
é
F(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-3t}e^{-j\omega t}\,dt =\frac{1}{3+j\omega},
desde que \Re\{3\}>0.

Passo 4

Usamos a propriedade de deslocamento no tempo: se
h(t)=f(t-t_0),
então
H(\omega)=e^{-j\omega t_0}F(\omega).
Aqui t_0=5, logo
G(\omega)=e^{-j\omega\cdot5}\,\frac{1}{3+j\omega}.

Resposta

g(t)= e^{-3\,(t-5)},u(t-5) G(\omega)=\displaystyle \frac{e^{-j5\omega}}{3+j\omega}

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