Dada a equação E/S 2 ddoty+8 doty+6 y=3 u.
Calcule as raízes características.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão nos dá a equação e pede para calcular as raízes características. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem, onde as raízes características nos ajudam a entender o comportamento da solução da equação. Para isso, vamos precisar montar a equação característica associada e resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte da equação que envolve as derivadas de 2 ddoty + 8 doty + 6 y = 3 u. A equação dada é:
2 ddoty + 8 doty + 6 y = 0
Como queremos encontrar as raízes características, vamos considerar a equação homogênea associada, ou seja, ignoramos o termo do lado direito:

Passo 3

Agora, para montar a equação característica, substituímos doty = r e^rt ddoty = r^2 e^rt por 2 r^2 e^rt + 8 r e^rt + 6 e^rt = 0 , onde é a raiz que queremos encontrar. As derivadas ficam da seguinte forma:
Substituindo na equação homogênea:

Passo 4

Como 2 r^2 + 8 r + 6 = 0 nunca é zero, podemos dividir toda a equação por , simplificando para:
Essa é a nossa equação característica!

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação quadrática r = -b pm raizb^2 - 4ac2a para encontrar as raízes . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 6

Calculando o discriminante ( De):
Como , teremos duas raízes reais e distintas.

Passo 7

Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
r = -8 pm raiz162 times 2 = -8 pm 44
Calculando as duas possibilidades:
r1 = -8 + 44 = -44 = -1
r2 = -8 - 44 = -124 = -3

Resposta

As raízes características da equação são e .

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