Dada a equação E/S
.
Calcule as raízes características.
Calcule as raízes características.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão nos dá a equação
e pede para calcular as raízes características. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem, onde as raízes características nos ajudam a entender o comportamento da solução da equação. Para isso, vamos precisar montar a equação característica associada e resolvê-la.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte da equação que envolve as derivadas de
. A equação dada é:
Como queremos encontrar as raízes características, vamos considerar a equação homogênea associada, ou seja, ignoramos o termo do lado direito:
Passo 3
Agora, para montar a equação característica, substituímos
por
, onde
é a raiz que queremos encontrar. As derivadas ficam da seguinte forma:
Substituindo na equação homogênea:
Passo 4
Como
nunca é zero, podemos dividir toda a equação por
, simplificando para:
Essa é a nossa equação característica!
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 6
Calculando o discriminante (
):
Como
, teremos duas raízes reais e distintas.
Passo 7
Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
Calculando as duas possibilidades:
Resposta
As raízes características da equação são
e
.