Em determinado sistema de transferência de massa, sabe-se que a difusividade efetiva no sólido varia proporcionalmente a \mathrm{T}^{1,5}, enquanto o coeficiente convectivo externo varia proporcionalmente a \mathrm{T}^{0,5}. Considerando um aumento de temperatura de 20 \% em relação ao valor inicial, analise quantitativamente como o número de Biot mássico será afetado e discuta se o sistema tenderá a se tornar mais controlado por resistência interna ou externa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informações fornecidas:
    • A difusividade efetiva no sólido varia proporcionalmente a \mathrm{T}^{1,5}. Ou seja, se \mathrm{D} é a difusividade efetiva então \mathrm{D}\propto \mathrm{T}^{1,5}.
    • O coeficiente convectivo externo de massa varia proporcionalmente a \mathrm{T}^{0,5}. Ou seja, se k_c é o coeficiente convectivo então k_c\propto \mathrm{T}^{0,5}.
    • A temperatura aumenta 20\% em relação ao valor inicial. Isto é, \mathrm{T}_{\text{novo}}=1,2\\ \mathrm{T}_0.
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Quantitativamente, como o número de Biot mássico será afetado por esse aumento de 20\% na temperatura?
    2. Com base nisso, discutir se o sistema tenderá a ficar mais controlado por resistência interna (difusão no sólido) ou por resistência externa (convecção/transferência na interface).

Passo 2

Definir claramente o número de Biot mássico e as resistências físicas envolvidas.
  • Definição usada: o número de Biot para transferência de massa (denotado aqui por \mathrm{Bi}_m) é dado por
\mathrm{Bi}_m = \frac{k_c\,L}{\mathrm{D}},
onde
  • k_c é o coeficiente convectivo de massa (unidade: \mathrm{m/s}),
  • L é uma dimensão característica do sólido (por exemplo, raio ou metade da espessura) (unidade: \mathrm{m}),
  • \mathrm{D} é a difusividade efetiva no sólido (unidade: \mathrm{m^2/s}).
  • Interpretação física:
    • Resistência interna (difusão no sólido) tem ordem de grandeza \dfrac{L}{\mathrm{D}}.
    • Resistência externa (camada limite/convecção) tem ordem de grandeza \dfrac{1}{k_c}.
    • O número \mathrm{Bi}_m=\dfrac{k_c L}{\mathrm{D}} é a razão “resistência interna / resistência externa”. Mais precisamente, \mathrm{Bi}_m é a razão (inversa) entre as resistências, então:
      • Se \mathrm{Bi}_m \gg 1: a resistência interna é grande em relação à externa → o processo tende a ser controlado por difusão interna.
      • Se \mathrm{Bi}_m \ll 1: a resistência externa (convectiva) é dominante → o processo tende a ser controlado pela transferência externa.

Passo 3

Expressar as leis de variação com temperatura e escrever a razão entre o novo e o velho valor de \mathrm{Bi}_m.
  • Pelas dependências dadas:
    • \mathrm{D}\propto \mathrm{T}^{1,5} \dfrac{\mathrm{D}_{\text{novo}}}{\mathrm{D}_0} = \left(\dfrac{\mathrm{T}_{\text{novo}}}{\mathrm{T}_0}\right)^{1,5}.
    • k_c\propto \mathrm{T}^{0,5} \dfrac{k_{c,\text{novo}}}{k_{c,0}} = \left(\dfrac{\mathrm{T}_{\text{novo}}}{\mathrm{T}_0}\right)^{0,5}.
  • A razão entre os números de Biot novo e inicial é
\frac{\mathrm{Bi}_{m,\text{novo}}}{\mathrm{Bi}_{m,0}} = \frac{\dfrac{k_{c,\text{novo}}\,L}{\mathrm{D}_{\text{novo}}}}{\dfrac{k_{c,0}\,L}{\mathrm{D}_0}} = \frac{k_{c,\text{novo}}}{k_{c,0}}\cdot\frac{\mathrm{D}_0}{\mathrm{D}_{\text{novo}}}.
  • Substituindo as leis de dependência em \mathrm{T}:
\frac{\mathrm{Bi}_{m,\text{novo}}}{\mathrm{Bi}_{m,0}} = \left(\frac{\mathrm{T}_{\text{novo}}}{\mathrm{T}_0}\right)^{0,5}\cdot\left(\frac{\mathrm{T}_{\text{novo}}}{\mathrm{T}_0}\right)^{-1,5} = \left(\frac{\mathrm{T}_{\text{novo}}}{\mathrm{T}_0}\right)^{-1}.

Passo 4

Aplicar o aumento de 20\% ( \mathrm{T}_{\text{novo}}/\mathrm{T}_0=1,2) e calcular o fator e a variação percentual.
  • Usando o resultado do passo anterior:
\frac{\mathrm{Bi}_{m,\text{novo}}}{\mathrm{Bi}_{m,0}} = (1,2)^{-1} = \frac{1}{1,2} \approx 0,833\overline{3}.
  • Portanto o número de Biot mássico diminui por um fator de 1/1,2.
  • Variação percentual:
\frac{\mathrm{Bi}_{m,\text{novo}}-\mathrm{Bi}_{m,0}}{\mathrm{Bi}_{m,0}}\times 100\% = \left(0,833\overline{3}-1\right)\times 100\% \approx -16,666\ldots\% \approx -16,67\%.
Ou seja, o \mathrm{Bi}_m cai cerca de 16{,}7\%.

Passo 5

Interpretação física direta do resultado: o que significa essa queda de \mathrm{Bi}_m?
  • Como \mathrm{Bi}_m é a razão “resistência interna / resistência externa”, uma redução de \mathrm{Bi}_m significa que a resistência interna (difusão) diminuiu relativamente mais do que a resistência externa (convecção). Isso decorre de a difusividade crescer com \mathrm{T}^{1,5} enquanto k_c só cresce com \mathrm{T}^{0,5}: a difusividade aumentou mais rapidamente, reduzindo a resistência interna.
  • Conclusão qualitativa: o sistema tende a ficar relativamente menos limitado pela difusão interna e relativamente mais limitado pela resistência externa.

Passo 6

Discussão prática e lembretes úteis para a prova (cenários possíveis).
  • Resultado geral: para qualquer aumento de temperatura a relação geral é
\mathrm{Bi}_m \propto \mathrm{T}^{-1},
logo aumentar \mathrm{T} reduz \mathrm{Bi}_m proporcionalmente a 1/\mathrm{T}.
  • Crossover e interpretação numérica:
    • Se inicialmente \mathrm{Bi}_{m,0}\gg 1, por exemplo 10, após o aumento de 20\% teremos \mathrm{Bi}_{m,\text{novo}} \approx 8,33. O sistema continua dominado pela resistência interna (difusão), embora a importância relativa da resistência externa aumente um pouco.
    • Se inicialmente \mathrm{Bi}_{m,0} estava próximo de 1, por exemplo 1, após o aquecimento passa para \approx 0,833. Nesse caso pode ocorrer mudança de regime: antes era comparável, depois passa a ser mais controlado pela resistência externa.
    • Se inicialmente \mathrm{Bi}_{m,0}\ll 1, o aquecimento apenas reforça o controle externo (convectivo).
  • Portanto, dizer que “o sistema passa a ser controlado por resistência externa” depende do valor inicial de \mathrm{Bi}_m; porém a tendência geral com o aumento de temperatura dado é exatamente reduzir \mathrm{Bi}_m e, portanto, aumentar a importância relativa da resistência externa.

Passo 7

Resumo final curto e encorajamento para a prova.
  • Resumindo: com +20\% em \mathrm{T} o \mathrm{Bi}_m diminui em fator 1/1,2 (queda de cerca de 16{,}7\%); fisicamente isso significa que a resistência interna (difusão) diminui relativamente mais do que a externa, então o sistema tende a se tornar mais influenciado pela resistência externa. Se o seu valor inicial de \mathrm{Bi}_m já era alto, pode não mudar o regime dominante, mas a tendência é sempre em direção a maior controle externo.
  • Força aí — essa linha de raciocínio (escrever dependências, formar razão e aplicar o fator de temperatura) é exatamente o tipo de argumento rápido e seguro que vale na prova.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathrm{Bi}_{m,\text{novo}}}{\mathrm{Bi}_{m,0}}=(1,2)^{-1}=\frac{1}{1,2}\approx 0,833\overline{3} (queda de aproximadamente 16{,}67\%).
Tendência: o sistema passa a ser relativamente mais controlado pela resistência externa (convecção), porque a difusividade interna cresce mais com a temperatura do que o coeficiente convectivo, reduzindo a importância relativa da resistência interna.

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