Dois sólidos distintos, A e B, possuem difusividades efetivas iguais a
e
, respectivamente. Ambos apresentam partículas esféricas de raio igual a 2 mm , coeficiente convectivo externo de
e coeficiente de partição unitário. Determine o número de Biot mássico para cada sólido, compare quantitativamente as resistências internas associadas e identifique qual dos materiais apresentará maior gradiente de concentração em seu interior durante o processo.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Raio das partículas (esféricas):
. - Coeficiente convectivo externo:
. - Coeficiente de partição unitário:
(portanto não há salto de concentração adicional no INTERFACE; a concentração da fase sólida na superfície é igual à da fase externa). - Difusividade efetiva do sólido A:
. - Difusividade efetiva do sólido B:
.
O enunciado pede:
- Determinar o número de Biot mássico para cada sólido.
- Comparar quantitativamente as resistências internas associadas (entre A e B).
- Identificar qual material apresentará maior gradiente de concentração em seu interior durante o processo.
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Definição e fórmula do número de Biot para transferência de massa.
O número de Biot mássico compara a resistência à transferência de massa na película externa com a resistência interna por difusão. A expressão usual é
onde:
-
é o coeficiente de transferência de massa na película externa (unidade: ); -
é o comprimento característico do sólido (unidade: ); -
é a difusividade efetiva no sólido (unidade: ).
Interpretação física rápida (importante para a prova):
- Se
: a resistência externa (filme) domina — o interior está praticamente homogêneo (modelo de capacitância lumped válido). - Se
: a resistência interna por difusão domina — haverá gradientes significativos de concentração no interior.
Passo 3
Cálculo do comprimento característico
para uma esfera.
Para partículas esféricas costuma-se usar
, o volume dividido pela área de superfície. Para esfera de raio
:
portanto
Substituindo
:
Passo 4
Cálculo de
para o sólido A (
).
Usando a fórmula
e
, podemos escrever explicitamente (mostrando contas):
Agora
Arredondando de forma prática para a prova:
Passo 5
Cálculo de
para o sólido B (
).
Usando a mesma expressão para o numerador (porque
e
são os mesmos):
Arredondando:
Passo 6
Interpretação dos valores calculados (o que significam para resistências).
Relembrando a interpretação:
-
resistência externa domina; -
resistência interna por difusão domina.
Como
e
, ambos são muito maiores que
. Conclusão qualitativa: para ambos os sólidos a resistência interna por difusão domina sobre a resistência da película externa. Em outras palavras, haverá gradientes de concentração no interior de ambas as partículas, e esse efeito é muito mais acentuado em B.
Passo 7
Comparação quantitativa das resistências internas.
Uma medida simples da resistência interna característica é proporcional a
(maior
significa maior resistência interna). Como
é o mesmo para A e B, a razão das resistências internas é
Logo, a resistência interna associada ao sólido B é 100 vezes maior que a resistência interna do sólido A.
Também pode-se ver isso pelos Biots:
, consistente com a razão acima.
Passo 8
Conclusão sobre o gradiente de concentração e comentário prático.
- Como a difusão interna em B é muito menor (difusividade 100 vezes menor), B terá resistência interna 100 vezes maior e, portanto, apresentará gradientes de concentração muito mais acentuados no interior durante o processo.
- A condição
apenas garante que não há diferença de concentração extra na interface sólido/fluido por partição; portanto a conclusão sobre os gradientes internos permanece válida sem correções de equilíbrio superficial. - Observação prática para provas: como ambos
são muito maiores que (critério comum para aceitar o modelo “lumped”), o modelo de capacidade lumped NÃO é válido aqui — deve-se tratar difusão interna.
Resposta
A resistência interna de
O sólido