Dois sólidos distintos, A e B, possuem difusividades efetivas iguais a 10^{-9} e 10^{-11} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, respectivamente. Ambos apresentam partículas esféricas de raio igual a 2 mm , coeficiente convectivo externo de 10^{-4} \mathrm{~m} / \mathrm{s} e coeficiente de partição unitário. Determine o número de Biot mássico para cada sólido, compare quantitativamente as resistências internas associadas e identifique qual dos materiais apresentará maior gradiente de concentração em seu interior durante o processo.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Raio das partículas (esféricas): R=2\\ \mathrm{mm}=\;2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente convectivo externo: k_c=10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
  • Coeficiente de partição unitário: K=1 (portanto não há salto de concentração adicional no INTERFACE; a concentração da fase sólida na superfície é igual à da fase externa).
  • Difusividade efetiva do sólido A: D_{e,A}=10^{-9}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Difusividade efetiva do sólido B: D_{e,B}=10^{-11}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
O enunciado pede:
  1. Determinar o número de Biot mássico para cada sólido.
  2. Comparar quantitativamente as resistências internas associadas (entre A e B).
  3. Identificar qual material apresentará maior gradiente de concentração em seu interior durante o processo.
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Definição e fórmula do número de Biot para transferência de massa.
O número de Biot mássico compara a resistência à transferência de massa na película externa com a resistência interna por difusão. A expressão usual é
\mathrm{Bi}_m=\frac{k_c L_c}{D_e},
onde:
  • k_c é o coeficiente de transferência de massa na película externa (unidade: \mathrm{m/s});
  • L_c é o comprimento característico do sólido (unidade: \mathrm{m});
  • D_e é a difusividade efetiva no sólido (unidade: \mathrm{m}^2/\mathrm{s}).
Interpretação física rápida (importante para a prova):
  • Se \mathrm{Bi}_m\ll1: a resistência externa (filme) domina — o interior está praticamente homogêneo (modelo de capacitância lumped válido).
  • Se \mathrm{Bi}_m\gg1: a resistência interna por difusão domina — haverá gradientes significativos de concentração no interior.

Passo 3

Cálculo do comprimento característico L_c para uma esfera.
Para partículas esféricas costuma-se usar L_c=V/A, o volume dividido pela área de superfície. Para esfera de raio R:
V=\frac{4}{3}\pi R^3,\qquad A=4\pi R^2,
portanto
L_c=\frac{V}{A}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi R^2}=\frac{R}{3}.
Substituindo R=2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
L_c=\frac{2\times10^{-3}}{3}=\;6{,}666\ldots\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo de \mathrm{Bi}_m para o sólido A ( D_{e,A}=10^{-9}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}).
Usando a fórmula \mathrm{Bi}_m=\dfrac{k_c L_c}{D_e} e L_c=R/3, podemos escrever explicitamente (mostrando contas):
k_c L_c = 10^{-4}\cdot\frac{2\times10^{-3}}{3}= \frac{2\times10^{-7}}{3}=6{,}666\ldots\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Agora
\mathrm{Bi}_{m,A}=\frac{6{,}666\ldots\times10^{-8}}{10^{-9}}=66{,}666\ldots
Arredondando de forma prática para a prova:
\mathrm{Bi}_{m,A}\approx 66{,}7.

Passo 5

Cálculo de \mathrm{Bi}_m para o sólido B ( D_{e,B}=10^{-11}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}).
Usando a mesma expressão para o numerador (porque k_c e L_c são os mesmos):
\mathrm{Bi}_{m,B}=\frac{6{,}666\ldots\times10^{-8}}{10^{-11}}=6{,}666\ldots\times10^{3}.
Arredondando:
\mathrm{Bi}_{m,B}\approx 6666{,}7.

Passo 6

Interpretação dos valores calculados (o que significam para resistências).
Relembrando a interpretação:
  • \mathrm{Bi}_m\ll1 \Rightarrow resistência externa domina;
  • \mathrm{Bi}_m\gg1 \Rightarrow resistência interna por difusão domina.
Como \mathrm{Bi}_{m,A}\approx66{,}7 e \mathrm{Bi}_{m,B}\approx6666{,}7, ambos são muito maiores que 1. Conclusão qualitativa: para ambos os sólidos a resistência interna por difusão domina sobre a resistência da película externa. Em outras palavras, haverá gradientes de concentração no interior de ambas as partículas, e esse efeito é muito mais acentuado em B.

Passo 7

Comparação quantitativa das resistências internas.
Uma medida simples da resistência interna característica é proporcional a \dfrac{L_c}{D_e} (maior L_c/D_e significa maior resistência interna). Como L_c é o mesmo para A e B, a razão das resistências internas é
\frac{R_{\text{int},B}}{R_{\text{int},A}}=\frac{L_c/D_{e,B}}{L_c/D_{e,A}}=\frac{D_{e,A}}{D_{e,B}}=\frac{10^{-9}}{10^{-11}}=100.
Logo, a resistência interna associada ao sólido B é 100 vezes maior que a resistência interna do sólido A.
Também pode-se ver isso pelos Biots: \dfrac{\mathrm{Bi}_{m,B}}{\mathrm{Bi}_{m,A}}= \dfrac{6666{,}7}{66{,}7}\approx100, consistente com a razão acima.

Passo 8

Conclusão sobre o gradiente de concentração e comentário prático.
  • Como a difusão interna em B é muito menor (difusividade 100 vezes menor), B terá resistência interna 100 vezes maior e, portanto, apresentará gradientes de concentração muito mais acentuados no interior durante o processo.
  • A condição K=1 apenas garante que não há diferença de concentração extra na interface sólido/fluido por partição; portanto a conclusão sobre os gradientes internos permanece válida sem correções de equilíbrio superficial.
  • Observação prática para provas: como ambos \mathrm{Bi}_m são muito maiores que 0{,}1 (critério comum para aceitar o modelo “lumped”), o modelo de capacidade lumped NÃO é válido aqui — deve-se tratar difusão interna.

Resposta

\mathrm{Bi}_{m,A}\approx 66{,}7
\mathrm{Bi}_{m,B}\approx 6666{,}7
A resistência interna de B é 100 vezes maior que a de A.
O sólido B apresentará o maior gradiente de concentração em seu interior.

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