Um sistema apresenta raio característico de 2 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}, coeficiente convectivo externo de 10^{-4} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, difusividade efetiva interna de 10^{-9} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e coeficiente de partição igual a 0,1 . Determine o número de Biot mássico e discuta o significado físico de um coeficiente de
partição inferior à unidade. Compare o regime obtido com aquele que ocorreria caso o coeficiente de partição fosse igual a 1 .

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá (e uma pequena observação sobre unidades que corrigi para prosseguir):
  • Raio característico: vou assumir L_c = 2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. (O enunciado escreveu 2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}, provavelmente um erro de unidade; interpreto como 2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, típico para um raio de partícula.)
  • Coeficiente convectivo externo: k = 1\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
  • Difusividade efetiva interna: D_{\text{eff}} = 1\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Coeficiente de partição: K = 0,1 (significa relação de equilíbrio entre concentração no sólido e na fase fluida na superfície: C_s = K\,C_f).
O enunciado pede:
  1. determinar o número de Biot mássico;
  2. discutir o significado físico de um coeficiente de partição K<1;
  3. comparar o regime obtido com o caso K=1.

Passo 2

Definição e fórmula do número de Biot mássico (com partição).
  • Conceito: o número de Biot mássico compara a resistência à transferência de massa na interface externa (convecção na película) com a resistência interna à difusão dentro do sólido. Analogamente ao Biot térmico, Valores típicos:
    • Bi_m \ll 1: resistência externa domina → perfil de concentração praticamente uniforme no sólido (modelo de capacitância concentrada/lumped).
    • Bi_m \gg 1: resistência interna domina → aparecem gradientes concentracionais dentro do sólido e a difusão interna é limitante.
  • Derivação do termo de superfície quando há partição em equilíbrio. Na superfície do sólido existe equilíbrio entre a concentração do sólido na superfície C_s(R) e a concentração do fluido imediatamente adjacente C_f:
    C_s(R)=K\,C_f \quad\Rightarrow\quad C_f=\frac{C_s(R)}{K}.
    O fluxo convectivo na superfície (do fluido para o exterior) é dado por:
    j_{\text{conv}} = k\bigl(C_f - C_\infty\bigr)=k\Bigl(\frac{C_s(R)}{K}-C_\infty\Bigr),
    e o fluxo interno por difusão (no sólido) é
    j_{\text{diff}} = -D_{\text{eff}}\left.\frac{\partial C_s}{\partial r}\right|_{r=R}.
    Igualando os fluxos na fronteira e escalando as grandezas surge um número adimensional proporcional a
    \frac{k L_c}{D_{\text{eff}} K}.
    Assim, para este problema o número de Biot mássico apropriado que inclui o efeito da partição é
    \boxed{Bi_m=\dfrac{k\,L_c}{D_{\text{eff}}\,K}.}
    Aqui cada símbolo significa:
    • k: coeficiente de transferência de massa por convecção (m/s);
    • L_c: comprimento característico (m) — aqui o raio característico;
    • D_{\text{eff}}: difusividade efetiva dentro do sólido (m^2/s);
    • K: coeficiente de partição adimensional ( C_s/C_f).

Passo 3

Cálculo numérico para K=0,1.
Substituo os valores em \displaystyle Bi_m=\dfrac{kL_c}{D_{\text{eff}}K}:
  • Primeiro calcule kL_c: kL_c = \left(1\times10^{-4}\right)\left(2\times10^{-3}\right)=2\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Depois calcule D_{\text{eff}}K: D_{\text{eff}}K = \left(1\times10^{-9}\right)\left(0,1\right)=1\times10^{-10}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Agora Bi_m: Bi_m = \frac{2\times10^{-7}}{1\times10^{-10}} = 2{,}0\times10^{3}=2000.
Portanto para K=0,1 obtemos Bi_m=2000.

Passo 4

Interpretação física do valor obtido ( Bi_m=2000).
  • Como regra prática, Bi_m\gg1 indica que a resistência interna à difusão no sólido é muito maior que a resistência externa por convecção. Ou seja, o processo de transporte fica limitado pela difusão dentro do sólido; haverá perfis de concentração significativos no interior e o modelo de capacitância concentrada (lumped) NÃO é válido.
  • No nosso caso, Bi_m=2000 é muito grande, então a difusão interna domina fortemente. Em termos práticos: mesmo que a convecção externa seja relativamente fraca, a difusão interna é ainda mais lenta (ou seja, o transporte de massa do interior para a superfície é o “gargalo” do processo).

Passo 5

Significado físico de um coeficiente de partição K<1 (aqui K=0,1) e por que isso altera o Biot.
  • O coeficiente de partição K é definido por K=\dfrac{C_s}{C_f} na interface em equilíbrio. Interpretando:
    • K<1: para uma mesma concentração na fase fluida, a concentração no sólido em equilíbrio é menor — o soluto “prefere” estar na fase fluida (pouca retenção no sólido).
    • K>1: o soluto “prefere” o sólido (muita retenção no sólido).
  • Como isso afeta o Biot: na expressão Bi_m=\dfrac{kL_c}{D_{\text{eff}}K} o fator K aparece no denominador. Assim:
    • diminuindo K (mais afinidade pela fase fluida) aumenta Bi_m;
    • aumentando K diminui Bi_m.
Intuição simples: se K é pequeno, uma certa concentração no sólido corresponde a uma concentração muito maior na película fluida adjacente ( C_f=C_s/K), aumentando o fluxo exigido na interface para manter o equilíbrio — logo a difusão interna precisa “fornecer” esse fluxo e torna‑se relativamente mais limitante. Por isso K pequeno torna a difusão interna mais importante (Bi maior).

Passo 6

Comparação com o caso K=1.
  • Calcule Bi_m para K=1 usando a mesma fórmula: Bi_m=\frac{kL_c}{D_{\text{eff}}(1)}=\frac{2\times10^{-7}}{1\times10^{-9}}=2\times10^{2}=200.
  • Interpretação: para K=1 também se obtém Bi_m=200, que já é \gg1. Ou seja, mesmo para K=1 o regime seria dominado pela difusão interna, mas menos severamente do que para K=0,1. Numericamente:
    • K=0,1 \Rightarrow Bi_m=2000 (difusão interna extremamente dominante);
    • K=1 \Rightarrow Bi_m=200 (difusão interna dominante, porém menos extremo).

Passo 7

Conclusão prática (como encarar numa prova e o que isso implica).
  • Resultado numérico principal: o número de Biot mássico com K=0,1 é Bi_m=2000.
  • Significado prático: como Bi_m\gg1, não se pode usar o modelo de “capacitância concentrada” (lumped) — é necessário resolver o problema de difusão dentro do sólido (séries de modos próprios ou aproximações para Bi grandes).
  • Quanto ao coeficiente de partição: K<1 indica preferência pelo fluido e, pela fórmula, aumenta Bi_m tornando a difusão interna ainda mais limitante; com K=1 o efeito da partição some e o Bi diminui (mas no exemplo ainda fica grande).

Resposta

Bi_m\\ (K=0,1)=2000
Bi_m\\ (K=1)=200
Regime: em ambos os casos Bi_m\gg1, portanto a difusão interna domina (o efeito é mais pronunciado para K=0,1).

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