Um sistema apresenta raio característico de 2 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}, coeficiente convectivo externo de 10^{-4} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, difusividade efetiva interna de 10^{-9} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e coeficiente de partição igual a 0,1 . Determine o número de Biot mássico e discuta o significado físico de um coeficiente de
partição inferior à unidade. Compare o regime obtido com aquele que ocorreria caso o coeficiente de partição fosse igual a 1 .
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá (e uma pequena observação sobre unidades que corrigi para prosseguir):
Raio característico: vou assumir L_c = 2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. (O enunciado escreveu 2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}, provavelmente um erro de unidade; interpreto como 2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, típico para um raio de partícula.)
Coeficiente convectivo externo: k = 1\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
Coeficiente de partição: K = 0,1 (significa relação de equilíbrio entre concentração no sólido e na fase fluida na superfície: C_s = K\,C_f).
O enunciado pede:
determinar o número de Biot mássico;
discutir o significado físico de um coeficiente de partição K<1;
comparar o regime obtido com o caso K=1.
Passo 2
Definição e fórmula do número de Biot mássico (com partição).
Conceito: o número de Biot mássico compara a resistência à transferência de massa na interface externa (convecção na película) com a resistência interna à difusão dentro do sólido. Analogamente ao Biot térmico, Valores típicos:
Bi_m \ll 1: resistência externa domina → perfil de concentração praticamente uniforme no sólido (modelo de capacitância concentrada/lumped).
Bi_m \gg 1: resistência interna domina → aparecem gradientes concentracionais dentro do sólido e a difusão interna é limitante.
Derivação do termo de superfície quando há partição em equilíbrio. Na superfície do sólido existe equilíbrio entre a concentração do sólido na superfície C_s(R) e a concentração do fluido imediatamente adjacente C_f:
Como regra prática, Bi_m\gg1 indica que a resistência interna à difusão no sólido é muito maior que a resistência externa por convecção. Ou seja, o processo de transporte fica limitado pela difusão dentro do sólido; haverá perfis de concentração significativos no interior e o modelo de capacitância concentrada (lumped) NÃO é válido.
No nosso caso, Bi_m=2000 é muito grande, então a difusão interna domina fortemente. Em termos práticos: mesmo que a convecção externa seja relativamente fraca, a difusão interna é ainda mais lenta (ou seja, o transporte de massa do interior para a superfície é o “gargalo” do processo).
Passo 5
Significado físico de um coeficiente de partição K<1 (aqui K=0,1) e por que isso altera o Biot.
O coeficiente de partição K é definido por K=\dfrac{C_s}{C_f} na interface em equilíbrio. Interpretando:
K<1: para uma mesma concentração na fase fluida, a concentração no sólido em equilíbrio é menor — o soluto “prefere” estar na fase fluida (pouca retenção no sólido).
K>1: o soluto “prefere” o sólido (muita retenção no sólido).
Como isso afeta o Biot: na expressão Bi_m=\dfrac{kL_c}{D_{\text{eff}}K} o fator K aparece no denominador. Assim:
diminuindo K (mais afinidade pela fase fluida) aumenta Bi_m;
aumentando K diminui Bi_m.
Intuição simples: se K é pequeno, uma certa concentração no sólido corresponde a uma concentração muito maior na película fluida adjacente (C_f=C_s/K), aumentando o fluxo exigido na interface para manter o equilíbrio — logo a difusão interna precisa “fornecer” esse fluxo e torna‑se relativamente mais limitante. Por isso K pequeno torna a difusão interna mais importante (Bi maior).
Passo 6
Comparação com o caso K=1.
Calcule Bi_m para K=1 usando a mesma fórmula:Bi_m=\frac{kL_c}{D_{\text{eff}}(1)}=\frac{2\times10^{-7}}{1\times10^{-9}}=2\times10^{2}=200.
Interpretação: para K=1 também se obtém Bi_m=200, que já é \gg1. Ou seja, mesmo para K=1 o regime seria dominado pela difusão interna, mas menos severamente do que para K=0,1. Numericamente:
K=1 \Rightarrow Bi_m=200 (difusão interna dominante, porém menos extremo).
Passo 7
Conclusão prática (como encarar numa prova e o que isso implica).
Resultado numérico principal: o número de Biot mássico com K=0,1 é Bi_m=2000.
Significado prático: como Bi_m\gg1, não se pode usar o modelo de “capacitância concentrada” (lumped) — é necessário resolver o problema de difusão dentro do sólido (séries de modos próprios ou aproximações para Bi grandes).
Quanto ao coeficiente de partição: K<1 indica preferência pelo fluido e, pela fórmula, aumenta Bi_m tornando a difusão interna ainda mais limitante; com K=1 o efeito da partição some e o Bi diminui (mas no exemplo ainda fica grande).
Resposta
Bi_m\\ (K=0,1)=2000 Bi_m\\ (K=1)=200
Regime: em ambos os casos Bi_m\gg1, portanto a difusão interna domina (o efeito é mais pronunciado para K=0,1).