Determinado tipo de parafuso é vendido em caixas de 50 unidades. É uma característica da fabricação produzir uma proporção de 0,08 defeituosos. O fabricante decide adotar o seguinte esquema de vendas: o comprador escolhe aleatoriamente 5 unidades. Se a amostra tiver nenhum defeituoso, ele paga 20, 00 ; 1 ou 2 defeituosos ele paga 10,00,3 ou mais ele paga 8,00 . Qual o valor médio do preço de venda quando:
(12.1) a amostragem for sem reposição? (12.2) a amostragem for com reposição?

Passo 1

O problema pede o preço médio de venda de uma caixa de parafusos (50 unidades, com 8 % de defeituosos) quando o comprador amostra 5 peças e paga conforme o número X de peças defeituosas encontradas:
nenhum defeituoso \to paga $20,00;
1 ou 2 defeituosos \to paga $10,00;
3 ou mais defeituosos \to paga $8,00.
Para resolver, vamos usar distribuição hipergeométrica (sem reposição) e binomial (com reposição) e calcular a esperança do preço.

Passo 2

Modelagem sem reposição: a população tem N=50 itens, K=0{,}08\times50=4 defeituosos, N-K=46 bons, e a amostra é n=5. Seja X o número de defeituosos na amostra. Então
P(X=k)=\frac{\binom{4}{k}\,\binom{46}{5-k}}{\binom{50}{5}},
para k=0,1,2,3,4.
Calculamos:
P(X=0)=\frac{\binom{4}{0}\,\binom{46}{5}}{\binom{50}{5}} =\frac{1\,\times\,1\,370\,754}{2\,118\,760}\approx0{,}6471,
P(X=1)=\frac{\binom{4}{1}\,\binom{46}{4}}{\binom{50}{5}} =\frac{4\,\times\,163\,185}{2\,118\,760}\approx0{,}3082,
P(X=2)=\frac{\binom{4}{2}\,\binom{46}{3}}{\binom{50}{5}} =\frac{6\,\times\,15\,180}{2\,118\,760}\approx0{,}0430,
P(X\ge3)=1-\bigl[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\bigr]\approx0{,}001976.

Passo 3

Preço esperado sem reposição:
E[P]=20\,P(X=0)+10\bigl[P(X=1)+P(X=2)\bigr]+8\,P(X\ge3).
Substituindo valores:
E[P]\approx20\cdot0{,}6471+10\cdot(0{,}3082+0{,}0430)+8\cdot0{,}001976 \approx16{,}47.

Passo 4

Modelagem com reposição: agora X\sim\mathrm{Binomial}(n=5,p=0{,}08), logo
P(X=k)=\binom{5}{k}0{,}08^k\,0{,}92^{5-k}.
Calculamos:
P(X=0)=0{,}92^5\approx0{,}6590,\quad P(X=1)=5\cdot0{,}08\cdot0{,}92^4\approx0{,}2866,
P(X=2)=10\cdot0{,}08^2\cdot0{,}92^3\approx0{,}0498,\quad P(X\ge3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))\approx0{,}0045.

Passo 5

Preço esperado com reposição:
E[P]=20\,P(X=0)+10\bigl[P(X=1)+P(X=2)\bigr]+8\,P(X\ge3) \approx20\cdot0{,}6590+10\cdot(0{,}2866+0{,}0498)+8\cdot0{,}0045 \approx16{,}58.

Resposta

(12.1) Sem reposição: $16,47
(12.2) Com reposição: $16,58

Exercícios relacionados