Baseado em estudos anteriores, a probabilidade de um certo componente elétrico apresentar defeito é de 0,05 . Os componentes são amostrados item por item, a partir de uma produção (contínua). Em uma amostra de oito componentes, quais são as probabilidades de se encontrar:
(15.1) Nenhum componente defeituoso
(15.2) Um componente defeituoso
(15.3) No máximo 2 dois defeituosos
(15.4) No mínimo 4 defeituosos
(15.5) Entre 3 (incluso) e 7 (incluso) defeituosos

Passo 1

O enunciado diz que cada componente tem probabilidade de defeito p=0,05 e que testamos n=8 componentes, um a um, de forma independente. Isso caracteriza uma variável aleatória binomial X\sim \mathrm{Bin}(n,p), com
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}.
Vamos usar essa fórmula para calcular cada probabilidade pedida.

Passo 2

Para (15.1) queremos P(X=0). Aplicando a fórmula com k=0:
P(X=0)=\binom{8}{0}\,0{,}05^0\,0{,}95^8=1\cdot1\cdot0{,}95^8\approx0{,}95^8\approx0{,}6634.

Passo 3

Para (15.2) calculamos P(X=1). Com k=1:
P(X=1)=\binom{8}{1}\,0{,}05^1\,0{,}95^7=8\cdot0{,}05\cdot0{,}95^7\approx8\cdot0{,}05\cdot0{,}6983\approx0{,}2793.

Passo 4

Em (15.3) queremos P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2). Já temos P(0) e P(1); falta
P(X=2)=\binom{8}{2}\,0{,}05^2\,0{,}95^6=28\cdot0{,}0025\cdot0{,}7350\approx0{,}05145.
Somando:
P(X\le2)\approx0{,}6634+0{,}2793+0{,}05145=0{,}99415.

Passo 5

Para (15.4) usamos complemento:
P(X\ge4)=1-P(X\le3).
Já conhecemos P(X\le2); precisamos P(X=3):
P(X=3)=\binom{8}{3}\,0{,}05^3\,0{,}95^5=56\cdot0{,}000125\cdot0{,}7737\approx0{,}00542.
Logo
P(X\le3)=P(X\le2)+P(X=3)\approx0{,}99415+0{,}00542=0{,}99957
e
P(X\ge4)=1-0{,}99957\approx0{,}00043.

Passo 6

Em (15.5) queremos P(3\le X\le7). Note que
P(3\le X\le7)=1-\bigl[P(X\le2)+P(X=8)\bigr].
Como
P(X=8)=0{,}05^8\approx3{,}9\times10^{-11}
é desprezível, temos
P(3\le X\le7)\approx1-0{,}99415=0{,}00585.

Resposta

(15.1) P(X=0)\approx0{,}6634
(15.2) P(X=1)\approx0{,}2793
(15.3) P(X\le2)\approx0{,}99415
(15.4) P(X\ge4)\approx0{,}00043
(15.5) P(3\le X\le7)\approx0{,}00585

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