3-) Para um determinado tipo de placa de circuito impresso, 50 \% não possuem defeitos, 25% possuem um defeito, 12% possuem dois defeitos, 8 \% contêm três defeitos e os 5 \% restantes possui quatro defeitos. Seja Y, a variável aleatória que indica o número de defeitos em uma placa escolhida aleatoriamente. A v.a. Y é discreta ou contínua? Por que? Apresente a distribuição de probabilidade de Y e encontre seu desvio padrão.

Passo 1

O enunciado dá as porcentagens de placas com diferentes números de defeitos e pede três coisas:
  • Determinar se a variável aleatória Y (número de defeitos numa placa escolhida ao acaso) é discreta ou contínua e explicar por quê.
  • Apresentar a distribuição de probabilidade de Y.
  • Calcular o desvio padrão de Y.
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
P(\text{0 defeitos})=50\%,\quad P(\text{1 defeito})=25\%,\quad P(\text{2 defeitos})=12\%,\quad P(\text{3 defeitos})=8\%,\quad P(\text{4 defeitos})=5\%.
Vou usar essas probabilidades convertidas para probabilidades decimais na resolução.

Passo 2

Primeiro vamos ver se Y é discreta ou contínua (explicação didática).
  • Uma variável aleatória discreta é aquela que assume um conjunto contável de valores isolados (por exemplo, inteiros 0,1,2,\dots).
  • Uma variável aleatória contínua é aquela que pode assumir qualquer valor em um intervalo contínuo de números reais (por exemplo, qualquer número entre 0 e 1).
    Aqui Y só pode ser o número de defeitos numa placa: 0,1,2,3 ou 4 (só esses valores). São valores inteiros isolados, um conjunto finito. Portanto Y é uma variável aleatória discreta. Vou explicar melhor a seguir.

Passo 3

Agora escrevo a distribuição de probabilidade (função massa de probabilidade) explicitamente e verifico que soma 1.
Converto as porcentagens em probabilidades decimais:
P(Y=0)=0{,}50,\quad P(Y=1)=0{,}25,\quad P(Y=2)=0{,}12,\quad P(Y=3)=0{,}08,\quad P(Y=4)=0{,}05.
Verificação rápida da soma:
0{,}50+0{,}25+0{,}12+0{,}08+0{,}05=1{,}00,
ou seja, está coerente (total 1).

Passo 4

Para calcular o desvio padrão precisamos primeiro entender a média (esperança) e a variância.
  • A esperança (valor esperado) de uma variável aleatória discreta Y é dada por
E(Y)=\sum_{y} y\;P(Y=y),
onde a soma é tomada sobre todos os valores possíveis de Y. Aqui y representa cada valor que Y pode assumir e P(Y=y) é a probabilidade correspondente.
  • A variância é dada por
\operatorname{Var}(Y)=E\bigl[(Y-E(Y))^{2}\bigr]=E(Y^{2})-\bigl(E(Y)\bigr)^{2},
onde
E(Y^{2})=\sum_{y} y^{2}\;P(Y=y).
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_{Y}=\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com números.

Passo 5

Cálculo da esperança E(Y) substituindo os valores:
E(Y)=0\cdot 0{,}50 + 1\cdot 0{,}25 + 2\cdot 0{,}12 + 3\cdot 0{,}08 + 4\cdot 0{,}05.
Agora calculo cada termo:
0\cdot 0{,}50 = 0{,}00,
1\cdot 0{,}25 = 0{,}25,
2\cdot 0{,}12 = 0{,}24,
3\cdot 0{,}08 = 0{,}24,
4\cdot 0{,}05 = 0{,}20.
Somando os termos:
E(Y)=0{,}00+0{,}25+0{,}24+0{,}24+0{,}20=0{,}93.
Portanto a média (esperança) é \,E(Y)=0{,}93 defeitos por placa (em média).

Passo 6

Cálculo de E(Y^{2}) (necessário para a variância):
E(Y^{2})=0^{2}\cdot 0{,}50 + 1^{2}\cdot 0{,}25 + 2^{2}\cdot 0{,}12 + 3^{2}\cdot 0{,}08 + 4^{2}\cdot 0{,}05.
Calculo cada termo:
0^{2}\cdot 0{,}50 = 0{,}00,
1^{2}\cdot 0{,}25 = 0{,}25,
2^{2}\cdot 0{,}12 = 4\cdot 0{,}12 = 0{,}48,
3^{2}\cdot 0{,}08 = 9\cdot 0{,}08 = 0{,}72,
4^{2}\cdot 0{,}05 = 16\cdot 0{,}05 = 0{,}80.
Somando:
E(Y^{2})=0{,}00+0{,}25+0{,}48+0{,}72+0{,}80=2{,}25.

Passo 7

Agora a variância usando \operatorname{Var}(Y)=E(Y^{2})-(E(Y))^{2}:
\operatorname{Var}(Y)=2{,}25 - (0{,}93)^{2}.
Calculo (0{,}93)^{2}:
(0{,}93)^{2}=0{,}8649.
Logo
\operatorname{Var}(Y)=2{,}25 - 0{,}8649 = 1{,}3851.
Portanto a variância é \operatorname{Var}(Y)=1{,}3851 (defeitos ao quadrado).

Passo 8

Por fim o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_{Y}=\sqrt{1{,}3851}\approx 1{,}177.
Interpretação rápida: o desvio padrão indica, de forma média, o espalhamento do número de defeitos em torno da média 0{,}93. Aqui \sigma_{Y}\approx 1{,}177 defeitos.

Resposta

Y é discreta, pois assume os valores \{0,1,2,3,4\} (valores inteiros isolados).
Distribuição: P(Y=0)=0{,}50,\; P(Y=1)=0{,}25,\; P(Y=2)=0{,}12,\; P(Y=3)=0{,}08,\; P(Y=4)=0{,}05.
Desvio padrão: \sigma_{Y}\approx 1{,}177.

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