3-) Para um determinado tipo de placa de circuito impresso,
não possuem defeitos, 25% possuem um defeito, 12% possuem dois defeitos,
contêm três defeitos e os
restantes possui quatro defeitos. Seja Y, a variável aleatória que indica o número de defeitos em uma placa escolhida aleatoriamente. A v.a. Y é discreta ou contínua? Por que? Apresente a distribuição de probabilidade de Y e encontre seu desvio padrão.
Passo 1
O enunciado dá as porcentagens de placas com diferentes números de defeitos e pede três coisas:
- Determinar se a variável aleatória
(número de defeitos numa placa escolhida ao acaso) é discreta ou contínua e explicar por quê. - Apresentar a distribuição de probabilidade de
. - Calcular o desvio padrão de
.
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
Vou usar essas probabilidades convertidas para probabilidades decimais na resolução.
Passo 2
Primeiro vamos ver se
é discreta ou contínua (explicação didática).
- Uma variável aleatória discreta é aquela que assume um conjunto contável de valores isolados (por exemplo, inteiros
). - Uma variável aleatória contínua é aquela que pode assumir qualquer valor em um intervalo contínuo de números reais (por exemplo, qualquer número entre
e ).
Aquisó pode ser o número de defeitos numa placa: ou (só esses valores). São valores inteiros isolados, um conjunto finito. Portanto é uma variável aleatória discreta. Vou explicar melhor a seguir.
Passo 3
Agora escrevo a distribuição de probabilidade (função massa de probabilidade) explicitamente e verifico que soma
.
Converto as porcentagens em probabilidades decimais:
Converto as porcentagens em probabilidades decimais:
Verificação rápida da soma:
ou seja, está coerente (total
).
Passo 4
Para calcular o desvio padrão precisamos primeiro entender a média (esperança) e a variância.
- A esperança (valor esperado) de uma variável aleatória discreta
é dada por
onde a soma é tomada sobre todos os valores possíveis de
. Aqui
representa cada valor que
pode assumir e
é a probabilidade correspondente.
- A variância é dada por
onde
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com números.
Passo 5
Cálculo da esperança
substituindo os valores:
Agora calculo cada termo:
Somando os termos:
Portanto a média (esperança) é
defeitos por placa (em média).
Passo 6
Cálculo de
(necessário para a variância):
Calculo cada termo:
Somando:
Passo 7
Agora a variância usando
:
Calculo
:
Logo
Portanto a variância é
(defeitos ao quadrado).
Passo 8
Por fim o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Interpretação rápida: o desvio padrão indica, de forma média, o espalhamento do número de defeitos em torno da média
. Aqui
defeitos.
Resposta
Y é discreta, pois assume os valores
(valores inteiros isolados).
Distribuição:
Desvio padrão: .
Distribuição:
Desvio padrão: