Suponha que, em uma determinada central telefônica, as chamadas cheguem com uma taxa de 2 chamadas por minuto. Qual é a probabilidade de que ocorram menos de 50 chamadas durante um período de 30 minutos?
Passo 1
O enunciado dá que a chegada de chamadas tem taxa de
chamadas por minuto e pede a probabilidade de que ocorram menos de
chamadas em um período de
minutos. Informações relevantes que temos:
- taxa por minuto:
chamadas/minuto; - duração do intervalo:
minutos; - queremos
.
Passo 2
Modelo apropriado para contar eventos que chegam com taxa constante num intervalo fixo é o processo de Poisson. A variável aleatória que conta o número de chamadas em um intervalo de duração fixa tem distribuição de Poisson com parâmetro igual à média de ocorrências no intervalo. A função massa de probabilidade da distribuição de Poisson é
onde
é o número de eventos no intervalo,
é a média (esperança) nesse intervalo e
. Aqui cada símbolo significa:
-
: número médio de chamadas no intervalo considerado; -
: número específico de chamadas que queremos a probabilidade; -
: base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Passo 3
Calculamos a média
para o intervalo de
minutos multiplicando a taxa pela duração:
Portanto
.
Passo 4
O que pedem é
Isto é a expressão exata, mas soma manual de
termos com fatoriais enormes é impraticável sem computador ou tabela.
Passo 5
Quando
é grande (aqui
), a distribuição de Poisson é bem aproximada por uma normal com média
e variância
. Essa é uma aproximação clássica (pelo Teorema do Limite Central / aproximação normal da Poisson). Para melhorar a aproximação usamos a correção de continuidade: para
usamos
e aproximamos por
, onde
é normal padrão. Justificativa curta: a variável discreta
toma valores inteiros; a correção de continuidade ajusta isso ao usar a normal contínua.
Passo 6
Aplicando a aproximação normal:
- média
; - desvio-padrão
.
Calculamos. Uma forma prática:
Sabemos
e
é um pouco menor; numericamente
, logo
Passo 7
Aplicamos a correção de continuidade: aproximamos
Calculamos o valor de
:
Passo 8
Agora usamos a tabela da normal padrão (ou conhecimento de valores): para
temos
Valores tabelados:
e
. Interpolando para
obtemos aproximadamente
. Portanto
Passo 9
Conclusão numérica e interpretação: a probabilidade de ocorrerem menos de
chamadas em
minutos é aproximadamente
, ou cerca de
. Isso faz sentido: como a média é
, obter menos de
é um desvio negativo importante e por isso a probabilidade é relativamente pequena. Se você tiver calculadora ou software na prova, pode calcular a soma exata da Poisson ou usar uma função estatística para confirmar o valor aproximado.