Suponha que, em uma determinada central telefônica, as chamadas cheguem com uma taxa de 2 chamadas por minuto. Qual é a probabilidade de que ocorram menos de 50 chamadas durante um período de 30 minutos?

Passo 1

O enunciado dá que a chegada de chamadas tem taxa de 2 chamadas por minuto e pede a probabilidade de que ocorram menos de 50 chamadas em um período de 30 minutos. Informações relevantes que temos:
  • taxa por minuto: 2 chamadas/minuto;
  • duração do intervalo: 30 minutos;
  • queremos \Pr(\text{número de chamadas no intervalo} < 50)ú.

Passo 2

Modelo apropriado para contar eventos que chegam com taxa constante num intervalo fixo é o processo de Poisson. A variável aleatória que conta o número de chamadas em um intervalo de duração fixa tem distribuição de Poisson com parâmetro igual à média de ocorrências no intervalo. A função massa de probabilidade da distribuição de Poisson é
\Pr(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde X é o número de eventos no intervalo, \lambda é a média (esperança) nesse intervalo e k\in\{0,1,2,\dots\}. Aqui cada símbolo significa:
  • \lambda: número médio de chamadas no intervalo considerado;
  • k: número específico de chamadas que queremos a probabilidade;
  • e: base dos logaritmos naturais (aprox. 2{,}71828).

Passo 3

Calculamos a média \lambda para o intervalo de 30 minutos multiplicando a taxa pela duração:
\lambda = 2 \times 30 = 60.
Portanto X\sim\text{Poisson}(\lambda=60).

Passo 4

O que pedem é
\Pr(X<50)=\sum_{k=0}^{49} e^{-60}\frac{60^k}{k!}.
Isto é a expressão exata, mas soma manual de 50 termos com fatoriais enormes é impraticável sem computador ou tabela.

Passo 5

Quando \lambda é grande (aqui \lambda=60), a distribuição de Poisson é bem aproximada por uma normal com média \mu=\lambda e variância \sigma^2=\lambda. Essa é uma aproximação clássica (pelo Teorema do Limite Central / aproximação normal da Poisson). Para melhorar a aproximação usamos a correção de continuidade: para \Pr(X<50) usamos \Pr(X\le 49) e aproximamos por \Pr\big(Z < \dfrac{49{,}5-\mu}{\sigma}\big), onde Z é normal padrão. Justificativa curta: a variável discreta X toma valores inteiros; a correção de continuidade ajusta isso ao usar a normal contínua.

Passo 6

Aplicando a aproximação normal:
  • média \mu=\lambda=60;
  • desvio-padrão \sigma=\sqrt{\lambda}=\sqrt{60}.
    Calculamos \sqrt{60}. Uma forma prática:
\sqrt{60}=\sqrt{4\cdot 15}=2\sqrt{15}.
Sabemos \sqrt{16}=4 e \sqrt{15} é um pouco menor; numericamente \sqrt{15}\approx 3{,}87298, logo
\sqrt{60}\approx 2\times 3{,}87298 \approx 7{,}74597.

Passo 7

Aplicamos a correção de continuidade: aproximamos
\Pr(X<50)=\Pr(X\le 49)\approx \Pr\!\left(Z < \frac{49{,}5-60}{\sqrt{60}}\right).
Calculamos o valor de z:
z=\frac{49{,}5-60}{\sqrt{60}}=\frac{-10{,}5}{7{,}74597}\approx -1{,}355.

Passo 8

Agora usamos a tabela da normal padrão (ou conhecimento de valores): para z\approx -1{,}355 temos
\Pr(Z< -1{,}355)=1-\Pr(Z<1{,}355).
Valores tabelados: \Pr(Z<1{,}35)\approx 0{,}9115 e \Pr(Z<1{,}36)\approx 0{,}9131. Interpolando para 1{,}355 obtemos aproximadamente 0{,}9123. Portanto
\Pr(Z< -1{,}355)\approx 1-0{,}9123=0{,}0877.

Passo 9

Conclusão numérica e interpretação: a probabilidade de ocorrerem menos de 50 chamadas em 30 minutos é aproximadamente 0{,}0877, ou cerca de 8{,}77\%. Isso faz sentido: como a média é 60, obter menos de 50 é um desvio negativo importante e por isso a probabilidade é relativamente pequena. Se você tiver calculadora ou software na prova, pode calcular a soma exata da Poisson ou usar uma função estatística para confirmar o valor aproximado.

Resposta

\approx 0{,}0877

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