Determinar F(z) :
F(s)=1-e^-0,015 ss 3 s^2+2 s+1(s-3)(s^2+6 s+13)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a partir de uma função de . Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática para resolver equações diferenciais. Vamos precisar manipular expressões algébricas e usar propriedades das transformadas de Laplace para achar a solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dada:
F(s) = 1 - e^-0,015 ss cdot 3 s^2 + 2 s + 1(s - 3)(s^2 + 6 s + 13)
Aqui, temos dois termos multiplicados. O primeiro termo, , está relacionado à transformação de uma função que começa em e termina em segundos. O segundo termo é uma fração algébrica que podemos simplificar usando frações parciais.

Passo 3

Vamos fazer a divisão dos polinômios no segundo termo. Dividimos 3 s^2 + 2 s + 1(s - 3)(s^2 + 6 s + 13) = As - 3 + B s + Cs^2 + 6 s + 13 por :
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação acima por 3 s^2 + 2 s + 1 = A(s^2 + 6 s + 13) + (B s + C)(s - 3) para eliminar os denominadores:
3 s^2 + 2 s + 1 = A s^2 + 6 A s + 13 A + B s^2 - 3 B s + C s - 3 C
Expandindo os termos:
3 s^2 + 2 s + 1 = (A + B) s^2 + (6 A - 3 B + C) s + (13 A - 3 C)
Agrupando termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados:
A + B = 3 6 A - 3 B + C = 2 13 A - 3 C = 1
Resolvendo esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 6 A - 3(3 - A) + C = 2 6 A - 9 + 3 A + C = 2 9 A + C = 11 C = 11 - 9 A
  2. Substituindo 13 A - 3(11 - 9 A) = 1 13 A - 33 + 27 A = 1 40 A = 34 A = 3440 = 1720 na segunda equação:
B = 3 - 1720 = 4320 C = 11 - 9 cdot 1720 = 11 - 15320 = 6720
  1. Substituindo na terceira equação:
  1. Então:

Passo 6

Agora que temos F(s) = 1 - e^-0,015 ss ( 1720s - 3 + 4320 s + 6720s^2 + 6 s + 13 ) , e , podemos reescrever :

Passo 7

Vamos separar a expressão em termos individuais e aplicar a transformada inversa de Laplace a cada um:
Usaremos a propriedade de deslocamento no tempo devido ao termo .

Passo 8

Aplicando a transformada inversa:
  1. Para o primeiro termo:
L^-1 1s cdot 1s - 3 = integral0^t e^3 tau dtau = e^3 t - 13
Multiplicando por 1720 cdot e^3 t - 13 , temos:
s^2 + 6 s + 13 = (s + 3)^2 + 4
  1. Para o segundo termo, completamos o quadrado no denominador e resolvemos:
L^-1 43 s + 67s^2 + 6 s + 13 = 43 e^-3 t cos(2 t) + 672 e^-3 t sin(2 t)
Então:
Multiplicando por , consideramos o deslocamento no tempo.

Passo 9

Combinando os termos e aplicando o deslocamento, obtemos a função f(t) = 1760 (e^3 t - 1) + 4320 e^-3 t cos(2 t) + 6740 e^-3 t sin(2 t) :

Resposta

A função F(z) = 1760 ( e^3 t - 1 ) + 4320 e^-3 t cos(2 t) + 6740 e^-3 t sin(2 t) é dada por:

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