Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a partir de uma função de . Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática para resolver equações diferenciais. Vamos precisar manipular expressões algébricas e usar propriedades das transformadas de Laplace para achar a solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dada:
Aqui, temos dois termos multiplicados. O primeiro termo, , está relacionado à transformação de uma função que começa em e termina em segundos. O segundo termo é uma fração algébrica que podemos simplificar usando frações parciais.
Passo 3
Vamos fazer a divisão dos polinômios no segundo termo. Dividimos por :
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação acima por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação: 6 A - 3(3 - A) + C = 2 6 A - 9 + 3 A + C = 2 9 A + C = 11 C = 11 - 9 A
Substituindo 13 A - 3(11 - 9 A) = 1 13 A - 33 + 27 A = 1 40 A = 34 A = 3440 = 1720 na segunda equação:
B = 3 - 1720 = 4320 C = 11 - 9 cdot 1720 = 11 - 15320 = 6720
Substituindo na terceira equação:
Então:
Passo 6
Agora que temos F(s) = 1 - e^-0,015 ss ( 1720s - 3 + 4320 s + 6720s^2 + 6 s + 13 ) , e , podemos reescrever :
Passo 7
Vamos separar a expressão em termos individuais e aplicar a transformada inversa de Laplace a cada um:
Usaremos a propriedade de deslocamento no tempo devido ao termo .
Passo 8
Aplicando a transformada inversa:
Para o primeiro termo:
L^-1 1s cdot 1s - 3 = integral0^t e^3 tau dtau = e^3 t - 13
Multiplicando por 1720 cdot e^3 t - 13 , temos:
s^2 + 6 s + 13 = (s + 3)^2 + 4
Para o segundo termo, completamos o quadrado no denominador e resolvemos:
L^-1 43 s + 67s^2 + 6 s + 13 = 43 e^-3 t cos(2 t) + 672 e^-3 t sin(2 t)
Então:
Multiplicando por , consideramos o deslocamento no tempo.
Passo 9
Combinando os termos e aplicando o deslocamento, obtemos a função f(t) = 1760 (e^3 t - 1) + 4320 e^-3 t cos(2 t) + 6740 e^-3 t sin(2 t) :
Resposta
A função F(z) = 1760 ( e^3 t - 1 ) + 4320 e^-3 t cos(2 t) + 6740 e^-3 t sin(2 t) é dada por: