A função de transferência de um controlador discreto do tipo PID (Proporcional, integral, derivativo) é apresentado a seguir:
C(z)=10 z^2-1,42 z+4,92z^2-z
Este controlador é aplicado a um processo contínuo que responde com uma dinâmica de segunda ordem dada pela equação diferencial:
0,5 y^prime prime+3,5 y^prime+10 y=5 u(t)
Determine a função de transferência do sistema cujo processo foi discretizado por segurador de ordem erro (ZOH) para um período de amostragem T=0,1 segundos.

Passo 1

Beleza, a questão diz assim: você tem um processo contínuo de segunda ordem descrito por
0,5,y''(t) + 3,5,y'(t) + 10,y(t) = 5,u(t)
e quer a função de transferência discreta desse processo quando você usa um ZOH (Zero-Order Hold) com período de amostragem s.
Conteúdo: discretização de sistema contínuo por segurador de ordem zero (ZOH).
O que vamos precisar:
- achar a função de transferência contínua ,
- calcular a resposta ao degrau de ,
- amostrar em ,
- usar transformada z para pegar .

Passo 2

Primeiro, montamos a G(s)=Y(s)U(s)=50,5,s^2+3,5,s+10. Da equação diferencial:
G(s)=10s^2+7s+20,
Para ficar mais limpinho, multiplico numerador e denominador por 2:

Passo 3

Agora vamos achar G(s)s=10s,(s^2+7s+20) , que é a resposta ao degrau.
  1. Escrevemos
10s(s^2+7s+20) =As+Bs+Cs^2+7s+20
  1. Fazemos frações parciais:
A=0,5, B=-0,5, C=-3,5
Resolvend o sistema rápido, encontra-se
G(s)s =0,5cdot1s -0,5cdots+7s^2+7s+20
  1. Então
s^2+7s+20=(s+3,5)^2+7,75, omega=raiz7,75=tfracraiz312
  1. Para inverter em r(t) =0,5-0,5,e^-3,5tl[cos(omega t)+tfrac3,5omegasin(omega t)r] : note que
Aí vem

Passo 4

A gente agora amostra a=e^-3,5T=e^-0,35, theta=omega T=tfracraiz312cdot0,1 em r[k]=0,5-0,5,a^kl[cos(ktheta)+tfrac3,5omegasin(ktheta)r] , com . Defina
Então
Usamos fórmulas de transformada-z conhecidas:
  • ,
  • ,
  • .

Passo 5

Colocando tudo e lembrando que
G(z)=z-1z,Zr[k],
fazendo as contas (numéricas para G(z) =0,03944,z+0,03165,z^2-1,3559,z+0,4966, , , ) chega-se em

Resposta

A função de transferência discreta do processo por ZOH com boxedG(z)=0,03944,z+0,03165z^2-1,3559,z+0,4966, s é

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