A função de transferência de um controlador discreto do tipo PID (Proporcional, integral, derivativo) é apresentado a seguir:
Este controlador é aplicado a um processo contínuo que responde com uma dinâmica de segunda ordem dada pela equação diferencial:
Determine a função de transferência do sistema cujo processo foi discretizado por segurador de ordem erro (ZOH) para um período de amostragem
segundos.
Passo 1
Beleza, a questão diz assim: você tem um processo contínuo de segunda ordem descrito por
e quer a função de transferência discreta desse processo quando você usa um ZOH (Zero-Order Hold) com período de amostragem
Conteúdo: discretização de sistema contínuo por segurador de ordem zero (ZOH).
O que vamos precisar:
- achar a função de transferência contínua
- calcular a resposta ao degrau
- amostrar
- usar transformada z para pegar
Passo 2
Primeiro, montamos a
. Da equação diferencial:
Para ficar mais limpinho, multiplico numerador e denominador por 2:
Passo 3
Agora vamos achar
, que é a resposta ao degrau.
- Escrevemos
- Fazemos frações parciais:
Resolvend o sistema rápido, encontra-se
- Então
- Para inverter em
: note que
Aí vem
Passo 4
A gente agora amostra
em
, com
. Defina
Então
Usamos fórmulas de transformada-z conhecidas:
-
, -
, -
.
Passo 5
Colocando tudo e lembrando que
fazendo as contas (numéricas para
,
,
) chega-se em
Resposta
A função de transferência discreta do processo por ZOH com
s é