Determinar:
06) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x+3}{x+\sqrt[3]{x}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+3}{x+\sqrt[3]{x}}.
Informações dadas:
  • A expressão a avaliar é \dfrac{2x+3}{x+\sqrt[3]{x}}.
  • O limite é quando x tende para +\infty (ou seja, x cresce sem limite, e nesse contexto x>0 suficientemente grande).
  • Não há mais dados; é um limite de função elementar em infinito.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma didática): quando x\to+\infty normalmente comparamos os termos dominantes no numerador e no denominador. Uma técnica simples e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece de forma dominante — aqui a maior potência presente é x (pois \sqrt[3]{x}=x^{1/3} cresce mais devagar que x). Dividir por x deixa termos decrescentes (que vão a zero) explícitos, facilitando a avaliação do limite.
Regra de limite que usarei: se \lim_{x\to\infty} f(x)=A e \lim_{x\to\infty} g(x)=B com B\neq0, então
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x. Escrevendo cuidadosamente:
\frac{2x+3}{x+\sqrt[3]{x}}=\frac{\dfrac{2x+3}{x}}{\dfrac{x+\sqrt[3]{x}}{x}}.
Agora simplifico cada parte:
\frac{2x+3}{x}=\;2+\frac{3}{x}, \qquad \frac{x+\sqrt[3]{x}}{x}=1+\frac{\sqrt[3]{x}}{x}.
Note que
\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=x^{1/3-1}=x^{-2/3}.
Portanto a expressão fica
\frac{2x+3}{x+\sqrt[3]{x}}=\frac{2+\dfrac{3}{x}}{1+x^{-2/3}}.

Passo 4

Avalio os limites das pequenas parcelas quando x\to+\infty:
  • \dfrac{3}{x}\to 0, porque uma constante dividida por x que cresce sem limite tende a zero.
  • x^{-2/3}\to 0, porque para qualquer p>0 temos x^{-p}=1/x^{p}\to0 quando x\to+\infty (já que x^{p}\to+\infty).
Assim, usando a regra de limites:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2+\dfrac{3}{x}}{1+x^{-2/3}} =\frac{\lim_{x\to\infty}\left(2+\dfrac{3}{x}\right)}{\lim_{x\to\infty}\left(1+x^{-2/3}\right)} =\frac{2+0}{1+0}=2.

Passo 5

Comentário adicional (dica para prova): outra maneira é fatorar x^{1/3} ou x como fator comum e ver quais termos dominam — qualquer caminho que exponha as potências relativas de x e mostre que termos como 3/x e x^{-2/3} vão a zero levará ao mesmo resultado. O raciocínio essencial é sempre comparar ordens de grandeza: x domina x^{1/3}, por isso o quociente tende ao coeficiente da parte dominante, que é 2/1=2.

Resposta

2

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